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Questão

Um programador visual deseja modificar uma imagem, aumentando seu comprimento e mantendo sua largura. As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a imagem original e a transformada pela duplicação do comprimento.

Para modelar todas as possibilidades de transformação no comprimento dessa imagem, o programador precisa descobrir os padrões de todas as retas que contêm os segmentos que contornam os olhos, o nariz e a boca e, em seguida, elaborar o programa.

No exemplo anterior, o segmento A1B1 da figura 1, contido na reta r1 , transformou-se no segmento A2B2 da figura 2, contido na reta r2 .

Suponha que, mantendo constante a largura da imagem, seu comprimento seja multiplicado por n, sendo n um número inteiro e positivo, e que, dessa forma, a reta r1 sofra as mesmas transformações. Nessas condições, o segmento AnBn estará contido na reta rn.

A equação algébrica que descreve rn , no plano cartesiano, é

  1. x + ny = 3n.
  2. x − ny = − n.
  3. x − ny = 3n.
  4. nx + ny = 3n.
  5. nx + 2ny = 6n.

Comentário da questão

Na figura original passa pelo ponto (0, 3) e tem um coeficiente angular dado por:

 

tgθ =  (2 – 1)/(1 – 2) —> tgθ = – 1

 

Equação da reta: y – 3 = -1.(x – 0) —> x + y = 3

 

Na 2ª figura, a reta passa pelo mesmo ponto (0, 3) mas tem um coeficiente angular diferente:

 

tgθ’ =  (2 – 1)/(2 – 4) —> tgθ = – 1/2

 

Equação da nova reta: y – 3 = (-1/2).(x – 0) —> x + 2.x = 6

 

E assim por diante. Para n —> y = – (1/n).x + 3 —> x + n.y = 3.n

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Gabarito da questão

Opção A

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Assunto

Geometria analítica