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Determinando o Domínio de uma função

O professor Gabriel Miranda faz exercícios de introdução ao estudo das funções. Confira!

Determinando a imagem de uma função

Função inversa

Função definida por mais de uma sentença

Função definida por mais de uma sentença

 

Introdução ao estudo das funções

Definição

Função é uma lei que transforma elementos de um conjunto em elementos de outro conjunto, por exemplo, ao falarmos que os valores sempre dobram, isso é uma lei, que matematicamente escrevemos como f(x) = 2x. Podemos representar uma função de forma genérica como:

f : A 🡪 B
x 🡪 y = f (x)

Ou seja, cada função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B e onde cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈ B.

Domínio, Contradomínio e Imagem

 

O conjunto A é denominado domínio da função, também chamado de conjunto de partida e o conjunto B é denominado contradomínio da função, ou é o conjunto de chegada. Outra forma de interpretar é que o domínio é o conjunto onde estão os valores possíveis para o x e o contradomínio é o conjunto que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Já a imagem da função são todos os elementos de B que estão relacionados com os elementos de A. Ou seja cada elemento x do domínio se relaciona a um e somente um elemento y do contradomínio. Vale ressaltar que não necessariamente a imagem da função é igual ao contradomínio.

 

Classificação:

Função sobrejetora: É aquela que tem o conjunto imagem igual ao contradomínio.

 

Função injetora: É aquela que, para cada elemento da imagem, existe apenas um elemento no domínio. Ou seja, em uma função injetora, elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio.

 

Função bijetora: Uma função é bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora.

 

Obs: É importante saber que existem funções que não são nem injetoras e nem sobrejetoras. Elas simplesmente não apresentam classificação sob esse critério.

Função par: Uma função é dita par, se e somente se  f(-x) = f(x). Ou seja, valores simétricos de x possuem a mesma imagem.

Dica: o gráfico de uma função par apresenta simetria em relação ao eixo y.

 

Função ímpar: Uma função é dita ímpar, se e somente se  f  (-x) = -f(x). Ou seja, valores simétricos de x possuem imagens simétricas.

Dica: o gráfico de uma função ímpar apresenta simetria em relação à origem.

 

Obs: Existem funções que não podem ser classificadas quanto a paridade, ou seja, não são nem pares nem ímpares.

Restrição do domínio

Algumas funções reais apresentam problemas no cálculo de imagens para certos valores de x. A função f (x) = 3/x apresenta problema para x = 0, já que não existe divisão por zero. Como o elemento x = 0 não possui imagem, dizemos que ele não está definido no domínio dessa função.  Dessa maneira, temos que prestar atenção e calcular o domínio da função com que estamos trabalhando. Temos que observar duas condições necessárias:

  • O denominador de qualquer função é diferente de zero.
  • Radicando de raízes de índice par são sempre positivos.

Função constante:

É aquele que, qualquer que seja o valor da abscissa, terá sempre a mesma ordenada.

Ex: f(x) = 3.

No exemplo acima fica claro que a função independe da variável x, ou seja, qualquer que seja  o valor de x, a função sempre valerá 3.