Produto notável em Matemática

Produtos Notáveis

• Produto da soma pela diferença de dois termos:

(x + y).(x - y)

• Quadrado da soma de dois termos

(x + y).(x + y) = (x + y)²

• Quadrado da diferença de dois termos:

(x - y).(x - y) = (x - y)²

Desenvolvendo esses produtos temos (aplicando a distributiva):

• (x + y).(x - y) = x² + xy - xy - y² = x² - y²
• (x + y).(x + y) = (x + y)² = x² + xy + xy + y² = x² + 2xy + y²
• (x - y).(x - y) = (x - y)² = x² - xy - xy + y² = x² - 2xy + y²

Fatoração

Fatorar uma expressão diz respeito a transformação em fatores de um produto. Por exemplo: A forma fatorada de x² + 2x + 1 é (x + 1)², a forma fatorada de x² - 5x + 6 é (x - 2).(x - 3). Fatorar muitas vezes é útil para simplificações algébricas.

Por exemplo:

Fator comum em evidência

Uma técnica muito útil é a de fatorar pelo fator comum em evidência.

Como, por exemplo: 2x + 2y. Note que 2 é fator comum em ambos os termos, logo podemos reescrever 2x + 2y como 2(x + y). Caso efetue a distributiva, chega-se ao termo original 2x + 2y.

Alguns exemplos de fatoração pelo fator comum em evidencia:

• a + ab = a(1 + b). Nesse caso, o fator comum é o a.
• 10x - 20y = 10(x - 2y). Nesse caso, o fator comum é o 10.
• x3 + 3x = x(x2 + 3). Nesse caso, o fator comum é o x.

Agrupamento

Essa outra técnica é usada quando o fator comum é um grupo comum. Por exemplo: 2x + 2 + ax + a. Nesse caso podemos fatorar pelo fator comum ficando com 2(x + 1) + a(x + 1). Note que x + 1 é comum logo usando o agrupamento: (x + 1)(2 + a).

Efetuando a distributiva volta ao 2x + 2 + ax + a.