Propriedade importante dos triângulos em Matemática

Triângulos

Um triângulo é uma figura geométrica constituída a partir de três pontos distintos não colineares e segmentos de reta que os liga.

Na figura acima, temos que A,B e C são chamados de vértices e os segmentos AB, BC , e CA são os lados. 

Condição de existência

A condição de existência de um triângulo é: 

Num triângulo ABC, qualquer lado é menor que a soma dos outros dois e maior que o módulo da diferença, ou seja, considerando a, b e c os lados do triângulo:

Note que o triângulo de lados 5, 12 e 13 (comparando com a fórmula anterior a = 5, b = 12 e c = 13)

Nesse caso é possível existir um triângulo de lados 5,12 e 13.

No entanto, se os lados fossem 5,1 e 7, teríamos:

Como essa desigualdade é falsa, não podemos construir um triângulo cujos lados medem 1, 5 e 7.

Ou seja, isso implica em um triângulo que não “fecha”:

Lei angular

Considere o triângulo abaixo:

Nele temos que , e são ângulos internos do triângulo. A lei angular dos triângulos diz que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180°. Nesse caso, α + β + γ = 180°.

Teorema do ângulo externo

Observe o triângulo abaixo

Temos que θ, λ e são chamados de ângulos externos do triângulo e o teorema do ângulo externo diz que um ângulo externo tem a mesma medida que a soma de dois ângulos internos não adjacentes (ou seja, o que não está ao lado dele). Nesse triângulo, temos que:

Propriedade do ângulo externo

Em um triângulo, cada ângulo externo vale a soma dos internos não adjacentes a ele.

Vamos demonstrar fazendo os cálculos, sabemos que:

• A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º: a + b + c = 180°

• A soma do ângulo interno com seu adjacente externo é 180º, pois forma um ângulo raso =
  x + a = 180°
  y + b = 180°
  z + c = 180°