Progressão Aritmética em Matemática

Progressão Aritmética

Observe a sequência:

(5, 8, 11, 14,17,20…)

Podemos notar que a diferença entre um termo qualquer dessa sequência e seu antecedente é sempre
igual a 3.

8 - 5 = 3; 11 - 8 = 3; 14 - 11 = 3; 17 - 14 = 3; 20 - 17 = 3;…

Definimos, Progressão Aritmética (P.A.) como uma sequência numérica de números reais na qual a diferença entre um termo qualquer (a partir do 2o) e o termo antecedente é sempre a mesma (constante). Essa constante é a chamada razão da P.A. e é indicada por r.

De acordo com o sinal da razão, podemos classificar as Progressões Aritméticas da seguinte forma:

• Se r > 0, a P. A. será crescente;
• Se r = 0, a P. A. será constante, com todos os termos de igual valor;
• Se r < 0, a P. A. será decrescente.

Termo Geral da PA

A expressão que nos permite obter um termo qualquer da P.A. é dada por:

a​n ​​= a​1​ ​+ (n − 1) .r

• an​​: termo da P.A
• a​1​​: 1° termo da P.A.
• n: posição do termo
• r: razão

Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

O matemático alemão Karl Friedrich Gauss em tenra idade resolveu rapidamente o seguinte problema:

Qual o valor da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5…+ 99 + 100)?

Usando o seguinte raciocínio:

Ele agrupou os 100 termos da soma em 50 pares de números cuja a soma é 101 .

Obtendo 50 x 101 = 5 050.

Então, a soma dos 100 termos desta sequência é 5 050

Ele observou que a soma dos termos equidistantes sempre dava o mesmo resultado da soma dos termos extremos, logo chegou a fórmula:

S​n​ =​ [(a​1​​+a​2)​​n] / 2​​

Onde:

• a​1​​ é o primeiro termo da sequência
• a​n​​ é o último termo da sequência
• n é o número de termos da sequência