Pesquisas de raízes em Matemática

Teorema das raízes complexas

Vamos enunciar um teorema que se trata das raízes complexas não reais de uma equação polinomial de coeficientes reais, isto é, das raízes complexas da forma z = a + bi, com x ∈ R

Se um número complexo z = a + bi com a pertencente aos reais e b pertencente aos reais não nulos, é raiz de uma equação polinomial p(x) = 0 com coeficientes reais, o conjugado de z também é solução.

Como consequência desse teorema temos que:

1. Se um número complexo z = a + bi é raiz com multiplicidade m de uma equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais, então seu conjugado também o é.
2. A quantidade de raízes complexas não reais de uma equação polinomial de coeficientes reais é necessariamente par. Assim, se uma equação polinomial de coeficientes reais tem grau ímpar, admite pelo menos uma raiz real.

Teorema fundamental da álgebra

Em 1798 o matemático alemão Gauss demonstrou em sua tese de doutorado, um teorema de grande importância na matemática conhecido como teorema fundamental da álgebra. A seguir, iremos enunciar esse teorema admitindo-o.

Todo polinômio de grau n, n ≥ 1 admite ao menos uma raiz complexa.

Aos vinte anos de idade, Gauss escreveu sua tese de doutorado na universidade de Helmstadt, na qual apresentou a primeira demonstração do teorema fundamental da álgebra que foi aceita entre os matemáticos. Apesar de nesta ocasião a demonstração envolver aspectos geométricos, posteriormente Gauss publicou outras demonstrações para este teorema, visando obter uma que fosse completamente algébrica.