Grandezas proporcionais e escala em Matemática

Grandezas Proporcionais e Escala

Razões e proporções

Razão é a fração determinada por duas grandezas, que visa a obter a relação que se estabelece entre as quantidades de cada uma delas em uma determinada situação. Assim, uma razão entre as grandezas a e b é dada por a/b

Quando duas razões têm o mesmo resultado, ou seja, se elas são iguais, determinam uma proporção. Desse modo, a proporção dada por quatro números a, b, c e d é representada pela seguinte igualdade de razões:

em que k é a constante de proporcionalidade

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante, ou seja:

Assim, ao variar uma grandeza, a outra também varia na mesma razão.

Exemplo: Um pai deixou para seus filhos André, Bruno e Cristiano uma herança de R$ 70.000,00 a ser distribuída em quantias diretamente proporcionais a 1,2 e 4, respectivamente. Quanto cada um dos três filhos recebeu?

Chamemos por A, B e C as quantias recebidas por André, Bruno e Cristiano, respectivamente. A seguinte proporção pode ser montada:

Igualando-se cada razão à constante k de proporcionalidade, podem-se criar as seguintes equações:

A = k , b = 2k e C = 4K

Dessa maneira, sabemos que a soma das quantias recebidas por cada um é o valor total da herança, R$ 70.000,00

A + B + C = 70000
k + 2k + 4k + 70000
7k + 70000
k = 10000

Assim, André recebeu R$ 10 000,00, Bruno recebeu R$ 20 000,00 e Cristiano, R$ 40 000,00.

Grandezas Inversamente proporcionais

Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais quando o produto entre elas é constante, ou seja:

a.b = k

Assim, ao variar uma grandeza, a outra também varia na razão inversa.

Exemplo: Um pai deixou para seus filhos André, Bruno e Cristiano uma herança de R$ 70.000,00 a ser
distribuída em quantias inversamente proporcionais a 1, 2 e 4, respectivamente. Quanto cada um dos três filhos recebeu?

Chamemos por A, B e C as quantias recebidas por André, Bruno e Cristiano, respectivamente.
A seguinte proporção pode ser montada:

A = 2B = 4C = k

Igualando-se cada razão à constante k de proporcionalidade, podem-se criar as seguintes equações:

A = k, B = k/2 e C = k/4

Dessa maneira, sabemos que a soma das quantias recebidas por cada um é o valor total da herança, R$ 70.000,00:

Assim, André recebeu R$ 40 000,00, Bruno recebeu R$ 20 000,00 e Cristiano, R$ 10 000,00.

Escala

Escalas de mapas e miniaturas são exemplos de razões entre grandezas de mesma natureza (neste caso, comprimento). Uma escala (e) é a razão entre o comprimento do desenho ou da miniatura (d) e o comprimento real.

Escalas de mapas e miniaturas geralmente são representadas na forma de 1 : R , ou seja, 1 unidade de comprimento do desenho representa R unidades de comprimento no real. Existem também escalas de áreas, que é o valor da escala ao quadrado, e escalas volumétricas, que é o valor da escala ao cubo.