Exercícios sobre Triângulos em Matemática

Triângulos: Condição de existência, lei angular, classificação e área

Um triângulo é uma figura geométrica constituída a partir de três pontos distintos não colineares e segmentos de reta que os liga.

 

Na figura acima, temos que A,B e C são chamados de vértices e os segmentos AB, BC , e CA são os lados. 

Condição de existência

A condição de existência de um triângulo é: 

Num triângulo ABC, qualquer lado é menor que a soma dos outros dois e maior que o módulo da diferença, ou seja, considerando a, b e c os lados do triângulo:

 

Note que o triângulo de lados 5, 12 e 13 (comparando com a fórmula anterior a = 5, b = 12 e c = 13)

 

Nesse caso é possível existir um triângulo de lados 5,12 e 13.

No entanto, se os lados fossem 5,1 e 7, teríamos:

 

Como essa desigualdade é falsa, não podemos construir um triângulo cujos lados medem 1, 5 e 7.

Ou seja, isso implica em um triângulo que não “fecha”:

 

Lei angular

Considere o triângulo abaixo:

 

Nele temos que , e são ângulos internos do triângulo. A lei angular dos triângulos diz que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180°. Nesse caso, α + β + γ = 180°.

Teorema do ângulo externo

Observe o triângulo abaixo

 

Temos que θ, λ e são chamados de ângulos externos do triângulo e o teorema do ângulo externo diz que um ângulo externo tem a mesma medida que a soma de dois ângulos internos não adjacentes (ou seja, o que não está ao lado dele). Nesse triângulo, temos que:

 

Classificação do triângulo

Quanto aos lados

• Equilátero: Apresenta os três lados congruentes 
• Isósceles: Apresenta os dois lados congruentes (e ângulos da base iguais)
• Escaleno: Apresenta os três lados diferentes entre si

Quanto aos ângulos

• Retângulo: Possui um ângulo interno de 90 graus (reto) e dois ângulos agudos.
• Acutângulo: Possui três ângulos internos agudos (menor que 90 graus).
• Obtusângulo: Possui um ângulo obtuso (maior que 90 graus) e dois ângulos agudos.

Note que um triângulo é classificado quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Área do Triângulo

Quando falamos do cálculo da área de uma figura plana, estamos querendo calcular a medida de sua superfície. Seja  b a base do triângulo e h a altura dele. Sua área é dada por:

 

 

Uma outra fórmula que nos é muito útil pode ser vista abaixo:

 

 

Temos, também, uma fórmula exclusiva para o cálcula da área de triângulos equiláteros:

 

 

Ceviana

Ceviana é qualquer segmento que parte de um vértice de um triângulo e corta o lado oposto a esse vértice. São exemplos de cevianas: mediana, altura e bissetriz.

Mediana

Mediana é uma ceviana que liga o vértice de onde ela parte ao ponto médio do lado oposto a esse vértice.

Baricentro

O baricentro é exatamente o ponto de encontro das medianas. É o centro de gravidade (ponto de equilíbrio) do triângulo.

 

Importante saber que se BD for a mediana do triangulo temos algumas relações importantes:

 

Obs: É importante ressaltar que um triângulo possui três medianas e a propriedade do baricentro funciona com todas elas.

Altura

A altura é uma ceviana que parte de um vértice e faz 90° com o lado oposto ao mesmo, ou seja, ela é perpendicular ao lado oposto a esse vértice. De cada vértice do triângulo parte UMA altura.

Ortocentro

O ortocentro é exatamente o ponto de encontro das três alturas desse triângulo, podendo pertencer ao exterior do triângulo.

 

Bissetriz

A bissetriz é uma ceviana que parte de um vértice do triângulo e que divide ao meio o ângulo referente a esse vértice. Em um triângulo, de cada vértice parte UMA bissetriz.

Incentro

O incentro é o ponto onde se encontram as três bissetrizes do triângulo.

 

O incentro também é o centro da circunferência inscrita nesse triângulo, pois equidista dos três lados.

Mediatriz

Qualquer segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo e que passa por seu ponto médio.
A reta r é a mediatriz do triângulo ABC relativa ao lado BC pois é perpendicular a BC e M é ponto médio
deste lado.

Circuncentro

Todo triângulo possui três mediatrizes que se encontram em um ponto denominado circuncentro, simbolizado na figura pela letra C:

 

O Circuncentro é equidistante dos lados do triângulo, logo é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Informações importantes:

• No triângulo equilátero, os pontos notáveis são coincidentes.
• No triângulo isósceles, a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz.
• A Mediatriz não é dita ceviana, pois não necessariamente parte do vértice.