Exercícios sobre regra de três simples em Matemática

Grandezas: o que são? 

Uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, quantificado, possibilitando que a mensuremos numericamente.

Exemplos de grandezas:

• Distância (quantificada por meio das medidas metro, centímetro, etc).
• Volume (quantificado por meio das medidas, litro, metro cúbico, etc).
• Temperatura (quantificada por meio das medidas celsius, kelvin, etc).
• Objetos, animais e pessoas (quantificados pelo número de elementos existentes, como número de carrinhos, de cachorros, de trabalhadoras, etc).

Na regra de três simples, estamos preocupados em avaliar duas grandezas simultaneamente. Isto é, estabelecendo uma relação entre elas, avaliando como o número que quantifica uma impacta na outra. Como o nome sugere, teremos 4 informações numéricas nos problemas desse assunto, o quais são referentes a essas duas grandezas, de modo que só sabemos o valor de 3 delas. A última é a que queremos descobrir! 

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas x e y são ditas diretamente proporcionais quando a razão entre os valores de x e y é constante. 

Exemplo:

• Considere que com R$50,00 compra-se dois galões de tinta. Neste cenário, perceba que nossas grandezas são preço dos galões e número de galões. A razão entre 50 e 2 resulta em 50 : 2 = 25.
• Note que, caso tivéssemos R$100,00, conseguiríamos comprar 4 galões. A razão entre 100 e 4 resulta no mesmo valor anterior, uma vez que 100 : 4 = 25.
• Esse valor que representa nossa razão constante é chamado constante de proporcionalidade (k). No nosso exemplo, k = 25, e ele indica que o custo do galão sempre é 25 vezes maior que a quantidade de galões que temos. Ou, por outro lado, que a quantidade de galões é 25 vezes menor que o custo.  

Costuma-se dizer que uma grandeza x é diretamente a uma grandeza y se, conforme aumentamos o valor de x, o valor de y aumenta proporcionalmente. Ou, se diminuímos x, o valor de y diminui proporcionalmente. 

Exemplo de regra de três simples envolvendo grandezas diretamente proporcionais:

• Cinco voluntários de uma ONG conseguem abordar, em média, 70 pessoas por dia para expor detalhes sobre os trabalhos de sua ONG. 8 voluntários conseguiriam abordar quantas pessoas diariamente?

As grandezas número de volutários e número de pessoas abordadas são diretamente proporcionais, uma vez que, quantos mais voluntários, mais pessoas são abordadas! Assim, fazemos um esquema como o abaixo:

Voluntários da ONG        Pessoas abordadas

5                                    70

 8                                     p  

Multiplicando em cruz os elementos da proporção: 5 x p = 8 x 70 →     5 x p = 560 → p = 560 : 5 → p = 112.

Logo, seriam abordadas 112 pessoas.

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas x e y são ditas inversamente proporcionais quando o produto entre os valores de x e y é constante.

Exemplo: 

• Considere que 5 pessoas conseguem pintar uma parede em 8 horas. Neste cenário, perceba que nossas grandezas são número de pessoas e tempo (em horas). O produto entre 5 e 8 resulta em     5 x 8 = 40. 
• Note que, caso tivéssemos 10 pessoas, elas levariam metade do tempo para realizar este trabalho. Ou seja, 4 horas. O produto entre 10 e 4 resulta em 10 x 4 = 40.
• Aqui, nossa constante de proporcionalidade k é igual 40. 

Costuma-se dizer que uma grandeza x é diretamente a uma grandeza y se, conforme aumentamos o valor de x, o valor de y diminui proporcionalmente. Ou, se diminuímos x, o valor de y aumenta proporcionalmente.

Exemplo de regra de três simples envolvendo grandezas inversamente proporcionais:

• Um carro percorre um trajeto em 3 horas quando dirigindo à 60 km/h. Em quanto tempo ele percorreria esse mesmo trajeto se fizesse o trajeto à 90 km/h?

As grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais, uma vez que, quanto mais rápido se dirige, em menos tempo se faz aquele percurso. Assim, depois de fazermos o esquema de grandezas, como feito no exemplo da ONG, devemos nos atentar para inverter os números de uma grandeza. Essa é estratégia vale para problemas de regra de três com grandezas inversamente proporcionais. Observe:

Ao invés do esquema:

Tempo          Velocidade

    3                     60

     t                      90 

Fazemos o esquema invertendo os números de alguma grandeza. Invertendo as de tempo:

Tempo          Velocidade

    t                     60

    3                    90 

Agora sim, multiplicando em cruz: 90 x t = 3 x 60 → 90 x t = 180 

→ t = 180 : 90 → t = 2

Logo, levaria 2 horas.