Exercícios sobre impulso e colisões em Física

Impulso de uma força constante

Os impulsos mecânicos estão presentes em uma série de fenômenos do dia a dia, como nas situações em que há empurrões, puxões, impactos e explosões. Um jogador de futebol, por exemplo, impulsiona a bola no ato de um chute. Seu pé aplica na bola uma força que, agindo durante um certo intervalo de tempo, determina um impulso. Ao se dar um tiro com uma arma de fogo qualquer, o projétil é impulsionado pelos gases provenientes da detonação do explosivo. Esses gases agem muito rapidamente sobre o projétil, porém de forma intensa, determinando um impulso considerável. Também recebem impulsos uma flecha ao ser lançada por um arco e uma pedra ao ser disparada por um estilingue.

Em nosso curso vamos nos restringir à definição do impulso de uma força constante (intensidade, direção e sentido invariáveis), uma vez que a definição geral dessa grandeza requer elementos de Matemática normalmente não estudados no Ensino Médio. Para tanto, considere o esquema a seguir, em que uma força F​​ constante age sobre uma partícula do instante t₁​​ ao instante t​₂​​:

O impulso de F​ no intervalo de tempo ∆t = t₂ - t​_1​​ é a grandeza vetorial I​​, definida por:

I = F.∆t

Sendo ∆t um escalar positivo, I​​ tem sempre mesma orientação de F

Unidade: [I] = N.s

Se a força tiver direção constante, mas intensidade variável, também podemos utilizar a definição particular dada para a grandeza impulso. Basta raciocinar em termos de uma força média que exerça, no mesmo intervalo de tempo, o mesmo efeito dinâmico da força considerada.

Cálculo do gráfico do valor algébrico do impulso

Considere o esquema a seguir, em que uma partícula se movimenta ao longo do eixo 0x sob a ação da força F constante.

Tracemos o gráfico do valor algébrico de F (dado em relação ao eixo 0x) em função do tempo:

Seja a “área” A destacada no diagrama. Teria essa “área” algum significado especial? Sim: ela fornece uma medida do valor algébrico do impulso da força F, desde o instante t​₁​​ até o instante t​₂​​. De fato, isso pode ser facilmente verificado:

A = F.(t​_2​​ – t​_1​​)

Mas t​_2​​ – t​_1​​ é o intervalo de tempo ∆t considerado. Logo

A = F.∆t

Como o produto F.∆t corresponde ao valor algébrico do impulso de F​​, segue que

A = I

Embora a última propriedade tenha sido apresentada com base em um caso simples e particular, sua validade estende-se também a situações em que a força envolvida tem direção constante, porém valor algébrico variável. Nesses casos, entretanto, sua verificação requer um tratamento matemático mais elaborado.

F é o valor algébrico da força responsável pelo impulso.

A₁ + A₂ = I (soma algébrica)

Tendo em conta o exposto, podemos fazer a seguinte generalização: Dado um diagrama do valor algébrico da força atuante em uma partícula em função do tempo, a “área” compreendida entre o gráfico e o eixo dos tempos expressa o valor algébrico do impulso da força. No entanto, a força considerada deve ter direção constante.

Quantidade de movimento

Em diversos fenômenos físicos é necessário agrupar os conceitos de massa e de velocidade vetorial. Isso ocorre, por exemplo, nas colisões mecânicas e nas explosões. Nesses casos, torna -se conveniente a definição de quantidade de movimento (ou momento linear), que é uma das grandezas fundamentais da Física. Considere uma partícula de massa m que, em certo instante, tem velocidade vetorial igual a v. Por definição, a quantidade de movimento da partícula nesse instante é a grandeza vetorial Q​​ expressa por:

Q = m.v

A quantidade de movimento é uma grandeza instantânea, já que sua definição envolve o conceito de velocidade vetorial instantânea. Sendo m um escalar positivo, Q tem sempre a mesma direção e o mesmo sentido de v, isto é, em cada instante é tangente à trajetória e dirigida no sentido do movimento.

Unidade: [Q] = kg.m/s = kg.m.s−1​​.

O teorema do impulso

Um arco dispara uma flecha conferindo-lhe um impulso, que provoca no dardo certa variação de quantidade de movimento. Um jogador de futebol cobra uma falta, imprimindo à bola no momento do chute um forte impulso. Este, por sua vez, determina expressiva variação de quantidade de movimento na bola. Você lança uma pedra e o impulso exercido no ato do lançamento provoca no projétil uma dada variação de quantidade de movimento... Haveria alguma conexão entre as noções de impulso e variação de quantidade de movimento? Certamente que sim! O Teorema do Impulso, apresentado a seguir, estabelece uma relação matemática entre essas grandezas.

Exemplo:

O impulso da resultante (impulso total) das forças sobre uma partícula é igual à variação de sua quantidade de movimento:

I_total = ∆Q

I_total = Q_final - Q_inicial

Podemos dizer, ainda, que o impulso da força resultante é equivalente à soma vetorial dos impulsos de todas as forças que atuam na partícula. O Teorema do Impulso permite concluir que as unidades N.s e kg;m/s, respectivamente de impulso e quantidade de movimento, são equivalentes. Isso ocorre porque essas grandezas têm as mesmas dimensões físicas. O Teorema do Impulso aplicado a uma partícula solitária equivale à 2ª Lei de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica).

Colisão

Um jogo de sinuca é um excelente cenário para observarmos um bom número de colisões mecânicas. As bolas, lançadas umas contra as outras, interagem, alterando as características de seus movimentos iniciais. As colisões mecânicas têm, em geral, breve duração. Quando batemos um prego usando um martelo, por exemplo, o intervalo de tempo médio de contato entre o martelo e o prego em cada impacto é da ordem de 10-2 s.

Duas fases podem ser distinguidas em uma colisão mecânica: a de deformação e a de restituição. A primeira tem início no instante em que os corpos entram em contato, passando a se deformar mutuamente, e termina quando um corpo para em relação ao outro. Nesse instante começa a segunda fase, que tem seu fim quando os corpos se separam. A fase de restituição, entretanto, não ocorre em todas as colisões. Em uma batida entre dois automóveis que não se separam após o choque, por exemplo, praticamente não há restituição. Dizemos que uma colisão mecânica é unidimensional (ou frontal) quando os centros de massa dos corpos se situam sobre uma mesma reta antes e depois do choque. Em nosso estudo, trataremos preferencialmente das colisões unidimensionais.

Quantidade de movimento e energia mecânica nas colisões

Conforme comentamos na aula de Conservação da Quantidade de Movimento, os corpos que participam de qualquer tipo de colisão mecânica podem ser considerados um sistema isolado de forças externas. De fato, recordemos que, em razão da breve duração da interação, os impulsos das eventuais forças externas sobre o sistema são praticamente desprezíveis, não modificando de modo sensível a quantidade de movimento total. Portanto, para qualquer colisão, podemos aplicar o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento, que significa o seguinte:

Em qualquer tipo de colisão mecânica, a quantidade de movimento total do sistema mantém-se constante. A quantidade de movimento imediatamente após a interação é igual à quantidade de movimento imediatamente antes:

Q_final = Q_inicial

É importante observar, entretanto, que, embora a quantidade de movimento total se conserve nas colisões, o mesmo não ocorre, necessariamente, com a energia mecânica (cinética) total do sistema. Quando dois corpos colidem, há, geralmente, degradação de energia mecânica (cinética) em energia térmica, acústica e trabalho de deformação permanente, dentre outras dissipações. Por isso, na maior parte das situações, os corpos que participam de uma colisão mecânica constituem um sistema dissipativo. Excepcionalmente, porém, no caso de as perdas de energia mecânica serem desprezíveis — e somente nesse caso —, os corpos que participam da colisão constituem um sistema conservativo. Ratificando, pois, frisemos que os corpos que participam de colisões mecânicas constituem normalmente sistemas isolados, sendo sistemas conservativos apenas excepcionalmente.

Coeficiente de restituição ou de elasticidade (e)

Sejam |v_raf| e |v_rap| respectivamente, os módulos das velocidades relativas de afastamento (após a colisão) e de aproximação (antes da colisão) de duas partículas que realizam uma colisão unidimensional. O coeficiente de restituição ou de elasticidade (e) para a referida colisão é definido pelo quociente:

e = v_raf / v_rap

Classificação das colisões quanto ao valor de (e)

De acordo com o valor assumido pelo coeficiente de restituição (e), as colisões mecânicas unidimensionais classificam-se em duas categorias: elásticas e inelásticas.

Colisões elásticas (ou perfeitamente elásticas)

Constituem uma situação ideal em que o coeficiente de restituição é máximo, isto é:

e = 1

Sendo e = |v_raf| / |v_rap|​​, decorre que:

1 = v_raf / v_rap

v_raf = v_rap

Em uma colisão elástica, as partículas aproximam- se (antes da colisão) e afastam-se (depois da colisão) com a mesma velocidade relativa, em módulo. Nas colisões elásticas, o sistema, além de isolado, também é conservativo. A energia mecânica (cinética) total do sistema, imediatamente após a interação, é igual à energia mecânica (cinética) total do sistema imediatamente antes da interação.

Colisão elástica → Sistema conservativo

Emecânica final = Emecânica inicial

Nas colisões elásticas, não há degradação de energia mecânica do sistema. Durante a fase de deformação há transformação de energia cinética em energia potencial elástica. Durante a fase de restituição ocorre o processo inverso, isto é, a energia potencial elástica armazenada é totalmente reconvertida em energia cinética.

Colisões inelásticas

Colisões totalmente inelásticas

São aquelas em que o coeficiente de restituição é nulo:

e = 0

Sendo e = |v_raf| / |v_rap|​​, decorre que:

0 = |v_raf| / |v_rap|

|v_raf| = 0

Nas colisões totalmente inelásticas, como a velocidade relativa de afastamento tem módulo nulo, concluímos que, após a interação, os corpos envolvidos não se separam. Os corpos que participam de colisões totalmente inelásticas constituem sistemas dissipativos. A energia mecânica (cinética) total imediatamente após a interação é menor que a energia mecânica (cinética) total imediatamente antes da interação.

Colisão totalmente inelástica → Sistema dissipativo

Emecânica final < Emecânica inicial

Destaquemos que, nas colisões totalmente inelásticas, a dissipação de energia mecânica é relativamente grande. Há casos, como o esquematizado no exemplo 3, em que toda a energia mecânica se degrada, transformando-se em calor, ruído e trabalho de deformação permanente, dentre outras formas de energia, havendo, portanto, dissipação total.

Colisões parcialmente elásticas

São aquelas em que o coeficiente de restituição se situa entre zero e um:

0 < e < 1

Sendo e = |v_raf| / |v_rap​|, decorre que:

0 < v_raf / v_rap < 1

0 < |v_raf| < |v_rap|

Nas colisões parcialmente elásticas, os corpos envolvidos separam-se após a interação, existindo, assim, a fase de restituição. Os corpos afastam-se, entretanto, com velocidade relativa de módulo menor que o da aproximação. Os corpos que participam de colisões parcialmente elásticas também constituem sistemas dissipativos. A energia mecânica (cinética) total imediatamente após a interação é menor que a energia mecânica (cinética) total imediatamente antes da interação.

Colisão parcialmente elástica → Sistema dissipativo

Emecânica final < Emecânica inicial