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Exercícios de Função Composta e Função Inversa com cálculo de coeficientes

O professor Rafael Jesus resolve dois exercícios, um de função composta e outro de função inversa, em que um dos coeficientes da função é pedido. Material: http://www.desconversa.com.br/matematica/wp-content/uploads/2014/10/Materialdeapoioextensivo-matematica-exercicios-funcao-inversa-composta.pdf

Exercício de Função Inversa fog e gof

Exercício de Função Inversa em um ponto

Exercício de Gráfico da Função Inversa

Exercício de Função Inversa de uma fórmula

Exercício de Função Inversa dado o gráfico da f(x)

Função inversa

Definimos função inversa (f -​1​​) de uma função f do seguinte modo:

Ou seja, para todo par ordenado (a, b) pertencente à função f, existe um par ordenado (b, a) correspondente na função inversa -1.

Condição de existência

A relação inversa de f: A → B é uma função f-​1​​: B → A, se e somente se, f é uma função bijetora.

Lei de formação

Para encontrarmos a lei de formação de uma função inversa, devemos seguir os seguintes passos:

I. Na lei de formação de f, devemos trocar o y por x e o x por y.
II. Depois, devemos isolar o novo y.

Ex: Vamos achar a inversa de f(x) = x + 1.

  • y = x + 1
  • x = y + 1  (trocando x por y e y por x)
  • y = x – 1 = f -1(x)
Gráfico

O gráfico de uma f-1 é simétrico ao gráfico de f em relação à reta y = x, chamada de função identidade.

Função composta

Função composta é aquela que tem como abscissa a imagem de outra função.

Ou seja, a abscissa de g(x) é a imagem de f(x).

Observe como isso funciona:

Condição de existência

Para que haja a função composta da função g com a função f, o domínio de g deve ser igual ao contradomínio de f.

Repare que no esquema anterior, f tem como domínio o conjunto A e contradomínio o conjunto B. Já a função g tem como domínio o conjunto B e contradomínio o conjunto C. Ou seja, o domínio de g é igual ao contradomínio de f.

 

Determinação da função composta

Partimos do exemplo de duas funções f(x) = x + 1 e g(x) = 2x

Calcular f[g(x)] significa encontrar a lei de formação da função composta de g com f. Tendo como base as funções do exemplo, usamos o passo a passo abaixo:

  • Partimos de f(x) = x + 1
  • Em seguida, substituímos x por g(x): f[g (x)] = g(x) + 1
  • Enfim, como g(x) = 2x, temos: g[f(x)] = 2x + 1.

Enfim, como g(x) = 2x, temos: