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Exercício de razão entre volumes de esferas

O professor Rafael Jesus resolve um exercício de razões entre volume de esferas.

Exercício de razões entre áreas de superfícies esféricas

Exercício de raio de secção da esfera

Exercício sobre volume de esferas

Exercício sobre igualdade de volume

Exercício de esfera inscrita

 

Esferas

Esfera é um sólido limitado por uma superfície esférica fechada e que tem todos os seus pontos à mesma distância de um ponto em seu interior.

 

Área da superfície esférica

Seja uma esfera de centro O e raio R. A área da superfície esférica é dada pela fórmula:

 

Volume de uma esfera

Como Arquimedes deduziu a fórmula da esfera?
Arquimedes pegou um cilindro de raio r e encheu-o de líquido. Colocou um recipiente por baixo do cilindro e, em seguida colocou dentro do cilindro uma esfera de raio r. Ao fazê-lo o líquido que estava dentro do cilindro transbordou para o recipiente. Deitou fora o líquido que sobrou (dentro do cilindro) e colocou o líquido do recipiente novamente dentro do cilindro verificou assim que o líquido da esfera ocupava 2/3 do cilindro:

 

 

Logo,

 

Secção em uma esfera

Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Sendo R o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e r o raio da seção, observe:

 

 Assim, pelo triângulo pitagórico, temos que R² = d² + r².

Calota esférica

Se cortarmos a esfera por um plano que não contém seu centro, as superfícies formadas se chamarão de calotas esféricas.

 

  • A área da calota esférica é dada pela fórmula 

  • O volume da calota esférica é dado pela fórmula

Fuso e cunha esférica

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semicircunferência de um ângulo α em torno de seu eixo:

 

Já a cunha esférica é a parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo α. A área e o volume do fuso esférico e da cunha esférica, respectivamente, podem ser obtidos por uma regra de três simples:

 

Assim, chegamos nas fórmulas: