Exercício de razão entre volumes de esferas
Exercício de razões entre áreas de superfícies esféricas
Exercício de raio de secção da esfera
Exercício sobre volume de esferas
Exercício sobre igualdade de volume
Exercício de esfera inscrita
Esferas
Esfera é um sólido limitado por uma superfície esférica fechada e que tem todos os seus pontos à mesma distância de um ponto em seu interior.
Área da superfície esférica
Seja uma esfera de centro O e raio R. A área da superfície esférica é dada pela fórmula:
Volume de uma esfera
Como Arquimedes deduziu a fórmula da esfera?
Arquimedes pegou um cilindro de raio r e encheu-o de líquido. Colocou um recipiente por baixo do cilindro e, em seguida colocou dentro do cilindro uma esfera de raio r. Ao fazê-lo o líquido que estava dentro do cilindro transbordou para o recipiente. Deitou fora o líquido que sobrou (dentro do cilindro) e colocou o líquido do recipiente novamente dentro do cilindro verificou assim que o líquido da esfera ocupava 2/3 do cilindro:
Logo,
Secção em uma esfera
Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Sendo R o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e r o raio da seção, observe:
Assim, pelo triângulo pitagórico, temos que R² = d² + r².
Calota esférica
Se cortarmos a esfera por um plano que não contém seu centro, as superfícies formadas se chamarão de calotas esféricas.
- A área da calota esférica é dada pela fórmula
- O volume da calota esférica é dado pela fórmula
Fuso e cunha esférica
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semicircunferência de um ângulo α em torno de seu eixo:
Já a cunha esférica é a parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo α. A área e o volume do fuso esférico e da cunha esférica, respectivamente, podem ser obtidos por uma regra de três simples:
Assim, chegamos nas fórmulas:
