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Equações modulares (nível básico)

O professor Gabriel Miranda faz exercícios de equações e inequações modulares. Confira!

Equações modulares (nível médio)

Equações modulares (nível avançado)

Inequações modulares (básico)

Inequações modulares (avançado)

Equações e inequações modulares

Definição
Dado um número real x, define-se o módulo de x, representado por |x| como:

 

O módulo também é chamado de valor absoluto.

Uma observação importante é que, se x é negativo então –x é positivo.

Com isso, podemos concluir que x ≥ 0, para todo x real.

Exemplos:
| 1 | = 1
| -2 | = 2
| √2 | = √2
| -1/5 | = 1/5

Note que:
| 1 | = 1, já que 1 ≥ 0, o resultado é o próprio 1
| -2 | = 2, pois – 2 < 0, o resultado será – (-2) = 2

Interpretação geométrica

A interpretação geométrica do módulo de um número real x é a distância desse número até a origem (ponto 0). Observe na reta real:

Nesse caso | -5| = 5 representa que esse número dista 5 da origem.

Exemplo:
| x | = 4

Do ponto de vista geométrico, queremos descobrir qual é o número que dista 4 unidades da origem, ou seja,

Logo, existem 2 valores que satisfazem essa condição: -4 e 4. Assim, o conjunto solução S será: S= {-4,4}

Propriedades


Sejam x e y números reais, então:

Função modular

A função modular é uma função  f:i → i , definida por f(x) = | x | . Para se construir o gráfico dessa função devemos considerar como uma função definida por várias sentenças, ou seja, ela se comporta de maneiras distintas para cada intervalo de x.

Considere a função f(x) = |x|

Temos que:

Ou seja, para x ≥ 0, a função é y = x e para x < 0, a função é y = - x

Juntando os dois gráficos:

Note que a Imagem é positiva.

Equação modular

Usando como base o exemplo anterior, vamos estudar um caso parecido:

| x – 1 | = 4

Como não sabemos se a expressão x – 1 é positiva, devemos estudar os dois casos. Ou seja:

x – 1 = 4 ou x – 1 = – 4

Nesse caso, temos como solução:

S = {-3, 5}

Condição de existência

Como dito anteriormente, ∣x∣ ≥ 0 para todo x real, ou seja, o caso | x | = - 2 não possui solução, pois não existe número real tal que diste -2 unidades da origem.

Exemplo:
|x – 5| = -2x + 1

Para que a equação seja verdadeira, temos a seguinte condição:

-2x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ 1/2

Então para que a solução seja válida, ela deve ser menor que 1/2.

Nesse caso, 2 não é solução pois é maior que ½.

Substituindo x = 2,
|x – 5| = -2.2 + 1
|x – 5| = -3 , o que não é solução válida

Logo S = {-4}

Inequação modular


Na equação modular, exemplo |x| = 3, geometricamente, queríamos descobrir quais os valores que distavam 3 unidades da origem, nesse casos S = {-3, 3}.

Já nas inequações, exemplo |x| ≤ 3, queremos descobrir intervalo onde os números que distam menos de 3 unidades da origem e |x| ≥ 3, analogamente, o intervalo onde os números distam mais de 3 unidades da origem.

Assim, o conjunto solução de

|x| ≤ 3 é -3 ≤ x ≤ 3

e de

|x| ≥ 3 é x ≤ 3 ou x ≥ 3

Resumindo: