Poliedros em Matemática

Poliedros

Poliedros são sólidos geométricos formados por vértices, arestas e faces, cujas superfícies são polígonos planos (triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc.). A palavra poliedro vem do grego antigo, em que poli significa ‘’vários’’ e ‘’edros’’ significa ‘’faces’’. Veja alguns exemplos de poliedros:

Relação de Euler

Em um poliedro, como dito antes, podemos distinguir faces, arestas e os vértices. Observe abaixo:

Ou seja:

• faces são as superfícies planas poligonais que limitam o poliedro.
• arestas são as interseções entre as faces do poliedro.
• vértices são os pontos de encontro das arestas

Leonhard Euler foi um matemático suíço que desenvolveu uma expressão matemática que descreve a relação entre o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Eis a fórmula:

V + F = A +2

Devemos ter cuidado ao usar essa fórmula, pois ela funciona para qualquer poliedro convexo e para alguns poliedros côncavos. Mas o que são poliedros convexos e côncavos?

Um poliedro é chamado convexo quando o plano que contém cada face deixa todas as outras em um mesmo semiespaço.

Cálculo para quantidade de arestas de um poliedro

Seja um poliedro com f​_3​​, triangulares, f​_4​​ faces faces quadrangulares, f_​5​​ pentagonais etc.

Podemos calcular a quantidade de arestas (A) desse poliedro usando a fórmula:

Poliedros de Platão

O filósofo Platão criou um teorema que nos diz que existem 5, e apenas 5, poliedros regulares. Esses 5 poliedros são chamados poliedros de Platão. Para que possa ser um poliedro de Platão, é necessário que o poliedro obedeça às seguintes disposições:

• todas as faces devem ter a mesma quantidade n de arestas;
• todos os vértices devem ser formados pela mesma quantidade m de arestas

Estes são os poliedros de Platão: