Conceito de divisibilidade
Divisores e conceito de número primo
Critérios de divisibilidade
Quantidade de divisores inteiros
Determinação dos divisores naturais
Exercício sobre divisibilidade
Divisibilidade
Divisão é a operação aritmética que nos permite separar grupos.
Por exemplo: Sabemos que 15:3 = 5 ou seja com 15 unidades conseguimos fazer 3 grupos de 5 unidades.
Essa divisão é chamada exata pois o resto é zero. Além disso, no exemplo o 15 é o dividendo (D), 3 é o divisor (d) e 5 o quociente (q). Uma notação usual é d.q+r = D.
O critério de divisibilidade é uma forma de verificar se a divisão será exata. Algumas regras são:
Divisibilidade por 2: Se o número for par, ou seja o algarismo das unidades for par, ele será divisível por 2. Exemplos: 232 é divisível por 2 e 131 não é.
Divisibilidade por 3: Se a soma dos algarismos de um número for divisível por 3 então o número é divisível por 3. Exemplos: 450 (4+5+0 = 9) é divisível por 3 e 329 (3+2+9 = 14) não é.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 se o número formado por seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Exemplos: 100 e 5224 são divisíveis por 4 e 677 não é.
Divisibilidade por 5: Se o número terminar por 5 ou 0 é divisível por 5. Exemplos: 785 é divisível por 5 e 691 não é.
Divisibilidade por 9: Caso a soma dos algarismos de um número seja divisível por 9. Exemplos: 729 (7+2+9 = 18) é divisível por 9 mas 212 (2+1+2 = 4) não é.
Divisibilidade por 10: Basta o número terminar em 0. Exemplos: 580 é divisível por 10 e 541 não é.
Também é importante saber que se decompormos um número (x) como produto de outros números (a e b), ou seja, se conseguirmos reescrever um número como outros dois multiplicados (x = a.b). O número será divisível por x se for divisível por a e b ao mesmo tempo, onde a e b são primos entre si
Exemplo: 6 = 2.3 para um número ser divisível por 6 ele precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, como é o número 636. Repare que ele é par, logo divisível por 2 e a soma dos seus algarismos é igual a 15 que é divisível por 3. Assim 636 é divisível por 6
Divisores de um número inteiro
Sejam a,b e c números inteiros. Dizemos que a é divisor de b, se existir um número inteiro c tal que: ac = b
Por exemplo: 6 é divisor de 12 pois 6.2 = 12 (nesse caso 2 equivale ao c). Vale ressaltar que 0 não é divisor de nenhum número e 1 é divisor de qualquer número inteiro.
Número primo
São números que possuem apenas dois divisores naturais diferentes (o 1 e ele mesmo). Por exemplo o 2, o 3, o 5, entre outros.
Total de divisores
No caso do 12 ele possui como divisores D(12) = {1,2,3,4,6,12} totalizando 6 divisores. Uma outra forma de descobrir o total de divisores é fatorando o 12 em fatores primos, somar um aos expoentes e depois multiplica-los.
Portanto, 12 = 2².3¹. Os expoentes são 2 e 1, dessa forma, (2+1).(1+1) = (3).(2) = 6. Assim, 12 possui 6 divisores. De forma geral, seja N um número decomposto como , com a,b e c números primos. O total de divisores de N será (x+1).(y+1).(z+1).