Exercício de soma dos termos de uma P.G. finita
Soma de uma P.G. infinita
Expressões algébricas que formam uma P.G.
Exercício de figura geométrica constituída por uma P.G.
Exercício envolvendo sistema entre os termos de uma P.G.
Exercício envolvendo a notação especial para P.G. de 3 termos
Exercício envolvendo P.G. e P.A.
Progressão Geométrica
Seja a sequência numérica dada por:
(2, 6, 8, 18, 54…)
Essa sequência não é uma progressão aritmética, pois a diferença entre dois termos consecutivos não é uma constante. Contudo, podemos destacar outro padrão para essa sequência numérica, já que cada termo é o triplo do termo anterior. Essas sequências são chamadas progressões geométricas.
Chamamos de progressão geométrica, com primeiro termo igual a a1 ϵ R , e a razão q ∈ R , toda sequência numérica com a seguinte lei:
Assim, temos:
- a2 = a1 * q
- a3 = a2 * q
- a4 = a2 * q
E assim sucessivamente.
Nesse caso, a razão, representada por q, é dada por:
Desse modo, dizemos que uma sequência numérica é uma progressão geométrica (PG) se, e somente se, a razão entre um termo, com n > 1, e seu antecessor for uma constante.
Classificação quando ao crescimento
- Progressão geométrica crescente: a1 > 0 e q > 1
- Progressão geométrica decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1
- Progressão geométrica alternada: a1 ≠ 0 e 1 < 0
- Progressão geométrica constante: q = 1
Termo Geral
Seja (a1, a2, a3, …an) uma progressão geométrica de razão q ∈ R . Assim, para n > 1, temos:
Esta é a expressão do termo geral de uma progressão geométrica calculado com base nos valores de a1, q e n. Contudo, podemos determinar uma expressão para o termo geral a partir de um termo ak qualquer:
Soma dos n primeiros termos (Sn)
Dada uma PG (a1, a2, a3… an−2, an-1, an) cuja razão q é diferente de 1, a soma de seus n primeiros termos é representada por Sn, isto é:
- No caso em que q = 1, então a soma dos termos da PG é igual a Sn = n . a
- Para os casos em que q ≠ 1, temos:
Soma dos infinitos termos (S∞ )
Para alguns tipos de progressões geométricas, podemos calcular o valor do limite da soma de seus infinitos termos. Essas sequências são chamadas de progressões geométricas convergentes e se caracterizam por ter a razão entre -1 e 1, ou seja, - 1 < q < 1. Para calcularmos a soma de seus infinitos termos, usamos a fórmula abaixo:
Produto dos n primeiros termos (Pn)
Dada uma PG (a1, a2, a3… an−2, an−1, an), podemos calcular o produto de seus n primeiros termos a partir da fórmula:
