Teorema do Resto e multiplicidade de raízes em Matemática

Teorema do Resto

Na divisão de um polinômio p(x) por um divisor do primeiro grau d(x) = ax + b , é possível calcular diretamente o resto dessa divisão sem a necessidade de se calcular o quociente. Para tal, substituímos em p(x) o valor da raiz de d(x), ou seja:

r(x) = p(​b ​​− a​​)

Ex.: Calculando o resto de p(x): x​²​ ​+ 4x + 3 dividido por d(x): x + 1, que já sabemos que vale 0 .
Primeiro, calculamos a raiz de d(x):

d(x): x + 1 = 0
x = −1

Agora, calculamos p(−1):

p(−1) = (−1)​² ​​+ 4(−1) + 3 = 0

Como queríamos, vimos que r = p(−1) = 0.

Multiplicidade de uma raiz

O número complexo r é uma raiz de multiplicidade m, da equação p(x) = 0 se a forma fatorada de p(x) é:

P(x) = (x - r).(x - r)…(x - r).q(x)
P(x) = (x − r)​^m​​.q(x)

Na decomposição de um polinômio de grau n > 0 em um produto de n fatores do 1º grau, podemos encontrar dois ou mais fatores idênticos. O número de vezes que uma mesma raiz aparece indica a multiplicidade da raiz.

Exemplo: Seja o polinômio P(x) = x​^5​​ - 6x⁴​​ + 13x​³ ​​- 14x​^2​​ + 12x - 8, identifique a multiplicidade da raiz

Obtivemos zero como resto nas três primeiras divisões, logo 2 é raiz tripla (multiplicidade 3).