Operações com polinômios em Matemática

Operações

Adição e subtração

Quando dois polinômios apresentam monômios semelhantes, podemos adicioná-los ou subtraí-los. Veja o exemplo:

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Multiplicação

Multiplicamos cada termo de um polinômio por todos os termos do outro polinômio, usando a distributiva. 

Divisão

Dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x), sendo o grau de P(x) maior do que o de D(x), significa encontrar o quociente Q(x) e o resto R(x), tais que:

• Grau do quociente: Gr(Q) = Gr(P) − Gr(D)
• Grau do resto: Gr(R) < Gr(D)

Agora, vamos aprender algumas técnicas para dividir polinômios!

Método da chave

Este método consiste em literalmente montar a conta de divisão na chave. Veja o exemplo

Sejam f(x) = 2x​³ ​​− 4x​²​​ + 3x − 8 e g(x) = x​​​² + 2x − 4. Iremos dividir f(x) por g(x). Primeiro, dispomos os polinômios na chave.

O objetivo é encontrar qual termo multiplicado por x^​2​​ irá resulta em 2x​³​​. No caso, o termo que faz isso é 2x, pois 2x​^3​​/x​²​​ = 2x. Ele é colocado no espaço do quociente.

Agora, distribuímos o 2x por todo o polinômio divisor, trocando o sinal de cada termo (para que sejam subtraídos). O resultado é somado ao polinômio dividendo:

Agora, o objetivo é encontrar um termo que multiplica x² e resulta em −8x². Neste caso, o termo é −8, não é necessário colocar x pois o grau já é o mesmo. Ele é colocado ao lado do 2x que já estava no quociente:

Agora distribuímos −8 encontrado pelo divisor. Os resultados novamente são colocados abaixo do dividendo, com os sinais trocados (para indicar que serão subtraídos).

Agora, repare que o resto da divisão (27x+16) possui grau 1 e o divisor possui grau 2. Quando o resto possui grau menor do que o divisor, a divisão está encerrada. Assim, o quociente é 2x − 8 e o resto é 27x + 16.