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Resposta do desafio – parte II

Na nossa última conversa eu discuti uma possível solução para o desafio que propus. Agora vamos à uma outra possibilidade de solução do problema utilizando um pouquinho mais de Matemática.

Para termos o choque entre os carros A e B, suas posições tem que necessariamente ser iguais, ou seja:

Sa = Sb (1)

Podemos também escrever as funções correspondentes a Sa e Sb, lembrando que a < 0:

Sa = Va.t – a.t²/2

Sb = d + Vb.t

De acordo com (1), temos:

Va.t – a.t²/2 = Vb.t+ d

Com um pouco de algebra, a equação acima fica assim:

a.t² – 2(Va-Vb).t + 2d = 0 (2)

Sabemos que uma função que usa o tempo como parâmetro precisa ter como domínio o conjunto dos reais positivos (R+), uma vez que não existe tempo negativo mesmo que a função admita tais valores. Qual seria então a condição em que a equação  (2) não tenha solução?

A resposta é simples, se a solução for complexa, o problema não tem solução, e se não tem significa que (1) nunca será verdade. Sendo assim o delta de Bhaskara tem que ser menor que zero para uma solução complexa, ou seja:

Δ < 0

Ou

B² – 4.A.C < 0 (3)

Olhando pra (2), temos os valores de A, B e C:

A = a

B = -2(Va-Vb)

C = 2d

Substituindo os valores em (3), temos:

4(Va-Vb)² – 4.a.2d < 0

(Va-Vb)² – a.2d < 0

(Va-Vb)² < 2ad

Va – Vb < √2ad

c.q.d

Solução elegante, não acham?!