Como operar uma soma com Progressão Geométrica?
Redação Sabemos que uma Progressão Geométrica é uma sequência cujo quociente de dois termos consecutivos é constante e igual a q. Sabemos também que o termo geral desta progressão é <a href=”http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=a_n=a_1.q^{n-1}” target=”_blank”><img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_n=a_1.q^{n-1}” title=”a_n=a_1.q^{n-1}” /></a>.
Assim, temos que a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por:
<a href=”http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S_n&space;=&space;a_1&space;+&space;a_1.q&space;+&space;a_1.q^2&space;+&space;…+&space;a_1.q^{n-1}” target=”_blank”><img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_n&space;=&space;a_1&space;+&space;a_1.q&space;+&space;a_1.q^2&space;+&space;…+&space;a_1.q^{n-1}” title=”S_n = a_1 + a_1.q + a_1.q^2 + …+ a_1.q^{n-1}” /></a>
<a href=”http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S_n.q&space;=&space;a_1.q&space;+&space;a_1.q^2&space;+&space;a_1.q^3&space;+&space;…+&space;a_1.q^{n-1}.q” target=”_blank”><img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_n.q&space;=&space;a_1.q&space;+&space;a_1.q^2&space;+&space;a_1.q^3&space;+&space;…+&space;a_1.q^{n-1}.q” title=”S_n.q = a_1.q + a_1.q^2 + a_1.q^3 + …+ a_1.q^{n-1}.q” /></a>
<a href=”http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S_n.q&space;=&space;a_1.q&space;+&space;a_1.q^2&space;+&space;a_1.q^3&space;+&space;…+&space;a_1.q^n” target=”_blank”><img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_n.q&space;=&space;a_1.q&space;+&space;a_1.q^2&space;+&space;a_1.q^3&space;+&space;…+&space;a_1.q^n” title=”S_n.q = a_1.q + a_1.q^2 + a_1.q^3 + …+ a_1.q^n” /></a>
<a href=”http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S_n.q&space;-&space;Sn&space;=&space;a_1.q&space;+&space;a_1.q^2&space;+&space;a_1.q^3&space;+&space;…+&space;a_1.q^n&space;-&space;\left&space;(&space;a_1&space;+&space;a_1.q&space;+&space;…&space;+&space;a_1.q^{n-1}&space;\right&space;)” target=”_blank”><img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_n.q&space;-&space;Sn&space;=&space;a_1.q&space;+&space;a_1.q^2&space;+&space;a_1.q^3&space;+&space;…+&space;a_1.q^n&space;-&space;\left&space;(&space;a_1&space;+&space;a_1.q&space;+&space;…&space;+&space;a_1.q^{n-1}&space;\right&space;)” title=”S_n.q – Sn = a_1.q + a_1.q^2 + a_1.q^3 + …+ a_1.q^n – \left ( a_1 + a_1.q + … + a_1.q^{n-1} \right )” /></a>
<a href=”http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S_n.q&space;-&space;Sn&space;=&space;a_1.q^n&space;-&space;a_1\Rightarrow&space;S_n.(q-1)&space;=&space;a_1.(q^n-1)&space;\Rightarrow&space;S_n&space;=&space;\frac{a_1.(q^n-1)}{q-1}” target=”_blank”><img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_n.q&space;-&space;Sn&space;=&space;a_1.q^n&space;-&space;a_1\Rightarrow&space;S_n.(q-1)&space;=&space;a_1.(q^n-1)&space;\Rightarrow&space;S_n&space;=&space;\frac{a_1.(q^n-1)}{q-1}” title=”S_n.q – Sn = a_1.q^n – a_1\Rightarrow S_n.(q-1) = a_1.(q^n-1) \Rightarrow S_n = \frac{a_1.(q^n-1)}{q-1}” /></a>
Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Infinita
Sendo a1, a2, a3, a4, … uma progressão geométrica infinita com -1 < q < 1, temos que <a href=”http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=q^n” target=”_blank”><img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?q^n” title=”q^n” /></a> tende a zero, já que quanto maior o expoente, menor a potência. Por isso, a soma dos termos dessa sequência será dada por:
<a href=”http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S_n&space;=&space;\frac{a_1.(q^n-1)}{q-1},&space;\,&space;q^n\rightarrow&space;0\Rightarrow&space;S_n&space;=\frac{a_1.(0-1)}{q-1}=\frac{-a_1}{q-1}\Rightarrow&space;S_n=\frac{a_1}{1-q}” target=”_blank”><img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_n&space;=&space;\frac{a_1.(q^n-1)}{q-1},&space;\,&space;q^n\rightarrow&space;0\Rightarrow&space;S_n&space;=\frac{a_1.(0-1)}{q-1}=\frac{-a_1}{q-1}\Rightarrow&space;S_n=\frac{a_1}{1-q}” title=”S_n = \frac{a_1.(q^n-1)}{q-1}, \, q^n\rightarrow 0\Rightarrow S_n =\frac{a_1.(0-1)}{q-1}=\frac{-a_1}{q-1}\Rightarrow S_n=\frac{a_1}{1-q}” /></a>
Fontes de Pesquisa:
Iezzi, Gelson e Hazzan, Samuel; Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 4
Sexta Edição, São Paulo: Atual, 1993.
Exercícios:
1. (Unitau) O valor da soma<a href=”http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S=4+\left&space;(\frac{1}{10}&space;\right&space;)+\left&space;(\frac{36}{10^3}+\frac{36}{10^5}+\frac{36}{10^7}+\frac{36}{10^9}+…&space;\right&space;)” target=”_blank”><img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?S=4+\left&space;(\frac{1}{10}&space;\right&space;)+\left&space;(\frac{36}{10^3}+\frac{36}{10^5}+\frac{36}{10^7}+\frac{36}{10^9}+…&space;\right&space;)” title=”S=4+\left (\frac{1}{10} \right )+\left (\frac{36}{10^3}+\frac{36}{10^5}+\frac{36}{10^7}+\frac{36}{10^9}+… \right )” /></a> é igual a:
a) 99/22.
b) 91/22.
c) 91/21.
d) 90/21.
e) 81/23.
2. (Uece) Seja (b1, b2, b3, b4) uma progressão geométrica de razão 1/3. Se b1 + b2 + b3 + b4 = 20, então b4 é igual a:
a) 1/2
b) 3/2
c) 5/2
d) 7/2
GABARITO
1. B
2. A
Camila