• Aumentar Fonte
  • Diminuir Fonte
  • Trocar contraste

Esfera: elementos, inscrição e circunscrição

Dados um ponto O e um segmento de medida r, chamamos de esfera de centro O e raio r o conjunto dos pontos P do espaço, tal que a distância OP seja menor ou igual a r.

esfera

Definição.

Secção

Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro, temos a secção máxima da mesma, isto é, o círculo máximo. Sendo r o raio e d a distância do centro ao plano secante e s o raio da secção, vale a relação:

esfera1

Secção.

Elementos

Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos:

          – pólos: interseções da superfície com o eixo;

          – equador: secção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície;

          – paralelo: secção (circunferência) perpendicular ao eixo e “paralela” ao equador.

          – meridiano: secção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

esfera2

Elementos.

 

Superfície

Denominamos Superfície da Esfera de centro O e raio r o conjunto de pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual a r. Sua área é indicada por As e é dada por 4πr².

Distância Polar

É a distância de um ponto qualquer de um paralelo a um polo, portanto, cada ponto A da esfera tem duas distâncias polares P1A e P2A.

esfera3

Esfera – Distância Polar.

 

Volume

Considerando uma esfer,a de raio r e um cilindro equilátero de raio da base r, altura 2r e ponto médio do eixo S, tomemos dois cones tendo como bases as bases do cilindro e vértice S. A reunião desses dois cones é chamada de clépsidra. O  sólido que está dentro do cilindro e fora da clépsidra, chamamos de anticlépsidra. Como a área da coroa circular é igual a área da secção esférica em qualquer corte feio nessas figuras, através do princípio de Cavalieri, temos que o volume da esfera é dado por V = 4πr³/3 .

esfera4

Volume.

Fontes de Pesquisa:

Dolce, Osvaldo e Pompeo, José Nicolau; Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 10
Sexta Edição, São Paulo: Atual, 2005.

Exercícios

1.  (Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua superfície aumentará:

a) 21 %.

b) 11 %.

c) 31 %.

d) 24 %.

e) 30 %.

VEJA COMO RESOLVER ESTA QUESTÃO PASSO-A-PASSO!

 

2.  (Ufrrj) Sendo S uma esfera de raio r, o valor pelo qual deveríamos multiplicar r, a fim de obtermos uma nova esfera S’, cujo volume seja o dobro do volume de S, é:

c) 2.

d) 3.

VEJA COMO RESOLVER ESTA QUESTÃO PASSO-A-PASSO!

 

GABARITO

1. A

2. A