Exercícios Resolvidos: Progressão Geométrica – Soma

02 de julho de 2015

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1. (Unitau) O valor da soma $S=4+\left (\frac{1}{10} \right )+\left (\frac{36}{10^3}+\frac{36}{10^5}+\frac{36}{10^7}+\frac{36}{10^9}+... \right )$ é igual a:

a) 99/22.

b) 91/22.

c) 91/21.

d) 90/21.

e) 81/23.

2. (Uece) Seja (b1, b2, b3, b4) uma progressão geométrica de razão 1/3. Se b1 + b2 + b3 + b4 = 20, então b4 é igual a:

a) 1/2

b) 3/2

c) 5/2

d) 7/2

1. B

Solução Passo-a-Passo:

$S=4+\left (\frac{1}{10} \right )+\left (\frac{36}{10^3}+\frac{36}{10^5}+\frac{36}{10^7}+\frac{36}{10^9}+... \right )$
$S=4+\left (\frac{1}{10} \right )+36.\left (\frac{1}{10^3}+\frac{1}{10^5}+\frac{1}{10^7}+\frac{1}{10^9}+... \right )$
$S'=\left (\frac{1}{10^3}+\frac{1}{10^5}+\frac{1}{10^7}+... \right ) \Rightarrow pg \, infinita,\, de \, q=10^{-2} \, e \, a_1=\frac{1}{10^3}.$
$S'=\frac{a_1}{1-q}\Rightarrow S'=\frac{\frac{1}{10^3}}{1-\frac{1}{10^2}}=\frac{\frac{1}{10^3}}{\frac{99}{10^2}}\Rightarrow \frac{1}{10^3}.\left ( \frac{10^2}{99} \right )\Rightarrow S'=\frac{1}{990}$
$S=4+\left (\frac{1}{10} \right )+36.S'\Rightarrow S=4+\left (\frac{1}{10} \right )+36.\left (\frac{1}{990} \right )=4+\left (\frac{1}{10} \right )+\frac{4}{110}$
$S=\frac{440}{110} + \frac{11}{110} +\frac{4}{110} \Rightarrow S=\frac{440+11+4}{110}=\frac{455}{110}\Rightarrow S=\frac{91}{22}.$

2. A

Solução Passo-a-Passo:

A soma dos quatro primeiros termos é 20 e q = 1/3. Assim:
$S_n=\frac{a_1.(q^n-1)}{q-1}\Rightarrow S_4=\frac{b_1.\left (\left ( \frac{1}{3} \right )^4-1 \right )}{\left ( \frac{1}{3} \right )-1}\Rightarrow 20=\frac{b_1.\left ( \frac{1}{81} \right -1)}{\frac{1-3}{3}}$
$20=\frac{b_1.\left ( \frac{1-81}{81} \right )}{\frac{-2}{3}}\Rightarrow 20=-\frac{80b_1}{81}.\frac{3}{\left (-2 \right )}=\frac{40b_1}{27}\Rightarrow 1=\frac{2b_1}{27}\Rightarrow b_1=\frac{27}{2}$
$b_n=b_1.q^{n-1}\Rightarrow b_4=b_1.q^{4-1}=\frac{27}{2}.\left (\frac{1}{3} \right )^3\Rightarrow b_4=\frac{27}{2}.\frac{1}{27}\Rightarrow b_4=\frac{1}{2}.$

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