Questões Comentadas: Progressão Geométrica

23 de junho de 2016

Redação

Resolva exercícios de vestibular sobre “Progressão Geométrica“, aprenda o passo-a-passo das resoluções e prepare-se para o Enem e para os vestibulares!

1. (Fuvest) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a √2. Se o produto dos termos dessa progressão é $2^{39}$ , então o número de termos é igual a:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

2. (Mackenzie) Numa progressão geométrica de termos positivos, cada termo é igual à soma dos dois termos seguintes. Então a razão da progressão vale:

a) √5

b) -1 + √5

c) (1 + √5)/2

d) √5/2

e) (√5 – 1)/2

GABARITO

1. B

Solução Passo-a-Passo:

Sabemos que o produto da progressão geométrica é dado por $P_n=a_{1}^{n}.q^{\frac{n.(n-1)}{2}}$ . Desta maneira, $2^{39}=1^{n}.\left (\sqrt{2} \right )^{\frac{n.(n-1)}{2}} \Rightarrow \left [\left (\sqrt{2} \right )^2 \right ]^{39}=\left (\sqrt{2} \right )^{\frac{n.(n-1)}{2}}\Rightarrow \left ( \sqrt{2} \right )^{78}=\left (\sqrt{2} \right )^{\frac{n.(n-1)}{2}}$ . Portanto, $78=\frac{n.(n-1)}{2}\Rightarrow 2.78=n^2-n \Rightarrow 0=n^2-n-156=(n-13).(n+12)$ . Logo, n + 12 = 0 ⇒ n = -12 ou n – 13 = 0 ⇒ n = 13. Como n é um número natural, n = 13.

2. E

Solução Passo-a-Passo:

Vamos escrever os três primeiros termos dessa progressão como x, xq e xq² e razão q. Sabemos que um termo é igual a soma dos outros dois termos seguintes, logo, x = xq + xq² = x.(q + q²). Dividindo os dois lados por x, teremos que x/x = x.(q + q²)/x ⇒ 1 = q + q² ⇒ 0 = q² + q – 1. Resolvendo a equação por Bhaskara: Δ = b² – 4ac ⇒ Δ = 1² – 4.1.(-1) ⇒ Δ = 1 + 4 = 5 e, portanto, q = (-b ± √Δ)/2a ⇒ q = (-1 ± √5)/2.1 ⇒ (-1 ± √5)/2. Como os termos são positivos e a progressão é decrescente, 0 < q < 1, por conseguinte, q = (-1 + √5)/2.