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Questões Comentadas: Progressão Aritmética

Leia o resumo “O que é uma Progressão Aritmética?” e resolva os exercícios abaixo.

1. (Unitau) Um triângulo retângulo tem seus lados c, b, e a em uma progressão aritmética crescente, então podemos dizer que sua razão r é igual a:

a) 2c.
b) c/3.
c) a/4.
d) b.
e) a – 2b.

 

2. (Unesp) Um estacionamento cobra R$1,50 pela primeira hora. A partir da segunda, cujo valor é R$1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0.40, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, quanto gastará seu proprietário?

a) R$ 4,58
b) R$ 5,41
c) R$ 5,14
d) R$ 4,85
e) R$ 5,34

 

3. (Mackenzie) A sequência (2, a, b, …… , p, 50) é uma progressão aritmética de razão r < 2/3, onde, entre 2 e 50, foram colocados k termos. Então o valor mínimo de k é:

a) 64
b) 66
c) 68
d) 70
e) 72

 

4. (Fuvest) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, √(11- a). O quarto termo desta P.A. é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

 

5. (Fei) Se a, 2a, a², b formam, nessa ordem, uma progressão aritmética estritamente crescente, então o valor de b é:

a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12

 

 

GABARITO

1. B

Solução Passo-a-Passo:

Como o triângulo é retângulo, o maior lado é a hipotenusa, neste caso a, já que c, b e a estão em progressão aritmética crescente. Do Teorema de Pitágoras, temos que a² = b² – c². Sabemos também que r = a – b = b – c ⇒ a = b + b – c ⇒ a = 2b – c. Substituindo o valor de a no teorema anterior: (2b – c)² = b² + c² ⇒ 4b² – 4bc + c² = b² + c² ⇒ 4b² – b² -4bc = 3b² – 4bc = 0 ⇒ b.(3b – 4c) = 0 ⇒ ou b =0, o que é impossível já que b é lado de um triângulo, ou 3b – 4c = 0 ⇒ 3b = 4c ⇒ b = 4c/3. Portanto, r = b – c ⇒ r = 4c/3 – c ⇒ r = (4c – 3c)/3 ⇒ r = c/3.

2. C

Solução Passo-a-Passo:

Temos uma progressão aritmética de a1 = 1 e a11 = 0,40 e queremos saber o valor pago até a4 – já que nossa progressão começa na segunda hora, a quinta hora equivalerá ao a4. Sabendo que an = ap + (n – p).r:
a11 = a1 + (11 – 1).r ⇒ 0,4 = 1 + 10r ⇒ 0,4 – 1 = 10r ⇒ -0,6 = 10r ⇒ r = -0,06.
a4 = a1 + (4 – 1). (-0,06) ⇒ a4 = 1 – 3.o,06 ⇒ a4 = 1 – 0,18 ⇒ a4 = 0,82.
a3 = a1 + (3 – 1). (-0,06) ⇒ a3 = 1 – 2.0,06 ⇒ a3 = 1 – 0,12 ⇒ a3 = 0,88.
a2 = a1 + (2-1). (-0,06) ⇒ a2 = 1 – 0,06 ⇒ a2= 0, 94.
Desta maneira o total pago por cinco horas é: 1,5 + 1 + 0,94 + 0,88 + 0,82 = R$5,14.

3. E

Solução Passo-a-Passo: 

Trata-se de uma interpolação aritmética de k termos. Portanto, temos k + 2 termos no total. Sabemos que o termo k+2 – ésimo vale 50 e o a1 vale 2. Assim, an = ap + (n – p).r ⇒ a(k+2) = a1 + (k+2 – 1). r ⇒ 50 = 2 + (k+1).r ⇒ 50 – 2 = (k+1).r ⇒ 48 = (k+1).r ⇒ 48/(k+1) = r. Mas sabemos que r < 2/3, então, 48/(k+1) < 2/3 ⇒ 48.3 < 2.(k+1) ⇒ 144 < 2.(k+1) ⇒ 144/2 < k + 1 ⇒ 72 < k + 1 ⇒ 72 – 1 < k ⇒ k > 71. Como k é um número natural – pois exprime uma quantidade – o valor mínimo de k é 72.

4. B

Solução Passo-a-Passo:

r = -a – (1 – a) = -a -1 + a ⇒ r = -1. √(11- a) – (-a) = -a – (1-a) ⇒ √(11- a) + a = -a – 1 + a ⇒ √(11- a) + a = -1 ⇒ √(11- a) = -1 – a⇒ [√(11- a)]² = (-1-a)² ⇒ 11 – a = 1 + 2a + a² ⇒ 0 = a² + 2a + a + 1 -11 ⇒ a² + 3a – 10 = 0.  Por produto de Steve, temos dois números cuja a soma vale 3 e o produto -10, eles são -2 e 5, assim, (a – 2). (a + 5) = 0, a = 2 ou a = -5. Como -a é um número positivo, a é um número negativo e por isso, a = -5. Enfim, a4 = a2 + (4-2).(-1) ⇒ a4 = -a -2 ⇒ a4 = -(-5) -2 = 5 – 2 ⇒a4 = 3.

5. E

Solução Passo-a-Passo:

a² – 2a = 2a – a ⇒ a² -2a – a = 0 ⇒ a² – 3a = 0 ⇒ a.(a-3) = 0 ⇒ ou a =0, o que não é possível já que a p.a. é estritamente crescente, ou a – 3 = 0 ⇒ a =3. r = 2a – a = a ⇒ r = 3. b = a² + r ⇒ b = 3² + 3 ⇒ b = 9 + 3 ⇒ b = 12.

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Oi, Natalia. Tudo bom?
Na resolução da questão 5 temos que: a² – 2a = 2a – a ⇒ a² -2a – a = 0
Quando o (-a) passa para o outro lado, não deveria passar com sinal +?
Obrigada. Abs.

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Olá, Thais! Tudo ótimo! Está correto sim. Repare que temos +a do outro lado e por isso, na troca, fica negativo.
Veja: a² – 2a = 2a – a .: a² – 2a = a .: a² -2a -a = 0 .: a² -3a = 0 .: a.(a-3) = 0. Assim, a = 0 ou a = 3.
Ficou claro? Espero ter te ajudado! Beijinhos! (:

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