Questões Comentadas: Equações e Inequações dos Primeiro e Segundo Graus

14 de abril de 2016

Redação

Leia o resumo “O que são Equações e Inequações do Primeiro e do Segundo Grau?” e resolva os exercícios abaixo.

1. (CEFET) Seja x o número inteiro não nulo que satisfaz a inequação: 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2. O valor de x² é igual a:

a) 0
b) 1
c) 4
d) 9
e) 16

2. (ITA – SP) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função abaixo está definida e é não negativa para todo x real é:
$f(x)=\frac{x^2+(2m+3)x+(m^2+3)}{\sqrt{x^2+(2m+1)x+(m^2+2)}}$
$a) \: \left [ \frac{1}{4}, \frac{7}{4} \right [$
$b) \: \left ] \frac{1}{4}, \infty \right [$
$c) \: \left ] 0, \frac{7}{4}\right [$
$d) \: \left ] -\infty , \frac{1}{4}\right ]$
$e) \: \left ] \frac{1}{4} , \frac{7}{4}\right [$

3. (Unirio – RJ) A diferença entre o comprimento x e a largura y de um retângulo é de 2 cm. Se a sua área é menor ou igual a 24 cm², então, o valor de x, em cm, será:

a) 0 < x < 6
b) 0 < x ≤ 4
c) 2 < x ≤ 6
d) 2 < x < 6
e) 2 < x ≤ 4

GABARITO:

1. B

Resolução passo-a-passo:

1. Primeiro Passo: Subtrair 4x de cada termo da sentença.
4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2 ⇒ 4x – 4x < 2x + 1 – 4x ≤ 3x + 2 – 4x ⇒ 0 < -2x + 1 ≤ -x + 2

Segundo Passo: Multiplicar a sentença por -1.
0 < -2x + 1 ≤ -x + 2 ⇒ 0 > 2x – 1 ≥ x – 2

Terceiro Passo: Somar 1 à sentença.
0 > 2x – 1 ≥ x – 2 ⇒ 1 > 2x ≥ x – 1

Quarto Passo: Dividir a sentença em duas inequações.
$1 > 2x \: e \: 2x \geqslant x - 1 \Rightarrow \frac{1}{2}> x \: e \: 2x - x \geqslant -1\rightarrow x \geqslant -1\Rightarrow -1\leq x<\frac{1}{2}$
Quinto Passo: Calcular x².
$Como \: sabemos \: que \: x \in \left [ -1, \frac{1}{2} \right ) \: e \: x \: \in \mathbb{Z}, \: ent\tilde{a}o, \: x=-1. \: Logo, \: x^2=1.$

2. D

Resolução passo-a-passo:

Primeiro Passo: Reconhecer que o denominador de F(x) sempre será positivo, já que é uma raiz quadrada e não existe raiz quadrada negativa de números reais.

Segundo Passo: Como a função é não negativa e o denominador será sempre positivo, queremos que o numerador seja maior ou igual a 0. Sendo a > 0, n(x) o numerador de F(x) e x1 e x2 as raízes de n(x), sabemos que n(x) será não negativa quando estiver fora das raízes (Δ<0) ou quando for nula (Δ=0). Logo, Δ≤0.

$a=1, b=2m + 3, c=m^2+3; \Delta=b^2 -4ac\Rightarrow \Delta=(2m+3)^2-4.1.(m^2+3)$
$\Delta=(2m+3)^2-4.1.(m^2+3), \Delta \leq 0\Rightarrow (2m+3)^2-4.1.(m^2+3) \leq 0$
$4m^2+12m+9 -4m^2-12 \leq 0\Rightarrow 12m -3 \leq 0 \Rightarrow 4m -1 \leq0$
$4m \leq 1 \Rightarrow m \leq \frac {1}{4}\Rightarrow m \in \left]-\infty, \frac{1}{4}\right]$
3. C