• Aumentar Fonte
  • Diminuir Fonte
  • Trocar contraste

O que é Função Quadrática?

Descubra o que é função quadrática com um resumo que vai te desvendar todos os conceitos sobre o tema! Prepare-se para o ENEM e vestibulares!

Função quadrática ou função do segundo grau é uma aplicação F de  →  que associa a cada x o elemento (ax² + bx + c) ∈ , em que a, b e c são números reais dados e a ≠ 0. Pois se a = 0, não teremos mais uma função quadrática e sim uma função afim: y = bx +c.

O que é Função Quadrática?

 

Relembrando: O que é função?

Sendo A e B conjuntos não vazios, uma relação F de A → B (lê-se A em B) é denominada aplicação de A – domínio, conjunto de partida – em B – contradomínio, conjunto de chegada –, ou função definida em A com imagens em B se para todo x ∈ A existe um só y ∈ B, tal que (x,y) ∈ F.

O que é Função Quadrática?

 

Exemplos de funções quadráticas:

  • 2x² + 5x + 7, em que a = 2, b = 5 e c = 7.
  • -x², em que a = -1 e b = c = 0.
  • x² + x + 1, em que a = b = c = 1.
  • 6x² + 5, em que a = 6, b = 0 e c = 5.

 

Gráfico da Função Quadrática

O gráfico da função quadrática é uma parábola (isso será provado em Geometria Analítica):

O que é Função Quadrática?

Concavidade

A parábola representativa da função quadrática pode ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Isso dependerá do sinal de a:

  • Se a > 0, a concavidade será voltada para cima.
  • Se a < 0, a concavidade será voltada para baixo.

O que é Função Quadrática?

Forma Canônica

A construção do gráfico da função quadrática através de uma tabela de valores de x e de y nem sempre é precisa, pois pode acontecer que em certa função o valor da abscissa (valor de x) ou da ordenada (valor de y) não seja inteiro.

Para iniciarmos um estudo mais detalhado da função, vamos transformá-la em outra forma mais adequada, chamada forma canônica.

  • O que é Função Quadrática?  Colocamos a em evidência:
  • O que é Função Quadrática?   Adicionamos e subtraímos  O que é Função Quadrática?:
  • O que é Função Quadrática?  Colocamos novamente a em evidência:
  • O que é Função Quadrática?

    O que é Função Quadrática?O que é Função Quadrática?

Portanto, a forma canônica da função quadrática é:

O que é Função Quadrática?

 

Zeros da Função Quadrática

Os zeros ou raízes da função são os valores de x para os quais O que é Função Quadrática?.
O que é Função Quadrática?  Utilizando a forma canônica temos:

i)
O que é Função Quadrática?

O que é Função Quadrática?

 

ii) Mas sabemos que , então:
O que é Função Quadrática?

Portanto: 

O que é Função Quadrática?

Observemos que, para existir raízes reais na equação do segundo grau, precisamos que O que é Função Quadrática? seja real. Logo, temos três casos:

i) O que é Função Quadrática?  e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e distintas, que serão: O que é Função Quadrática?.

ii) O que é Função Quadrática?  e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e iguais, que serão: O que é Função Quadrática?.

iii) O que é Função Quadrática?  e sabemos que, neste caso, O que é Função Quadrática? , portanto, diremos que a equação não apresentará raízes reais.

Interpretando geometricamente, os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x.

 

Máximo e Mínimo

Sendo O que é Função Quadrática? o conjunto imagem, dizemos que O que é Função Quadrática? é o valor de máximo da função O que é Função Quadrática? se, e somente se, O que é Função Quadrática? para qualquer O que é Função Quadrática?. E então, o número , sendo   o conjunto domínio, é chamado de ponto de máximo da função.

Dizemos que  é o valor de mínimo da função se, e somente se,   para qualquer . E então, o número  é chamado de ponto de mínimo da função.

Sucintamente, podemos dizer que:

i) Se , a função quadrática admite o valor máximo .

ii) Se , a função quadrática admite o valor mínimo .

 

O que é Função Quadrática?

 

Vértice da Parábola

O ponto O que é Função Quadrática? é chamado vértice da parábola.

 

Fontes de Pesquisa

Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 1; Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos.
Oitava Edição – São Paulo: Atual, 2004.

 

Exercícios

1. (ENEM – 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é:
a) V = 10.000 + 50x – x²
b) V = 10.000 + 50x + x²
c) V = 15.000 – 50x – x²
d) V = 15.000 + 50x – x²
e) V = 15.000 – 50x + x²

2. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x)=-x²+12x+20, tem um valor:

a) mínimo igual a -16, para x = 6.
b) mínimo igual a 16, para x = -12.
c) máximo igual a 56, para x = 6.
d) máximo igual a 72, para x = 12.
e) máximo igual a 240, para x = 20.

3. (UFMG) Observe a figura.

O que é Função Quadrática?

Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é:
a) y = (x² /5) – 2x
b) y = x² – 10x
c) y = x² + 10x
d) y = (x²/5) – 10x
e) y = (x²/5) + 10x

GABARITO 

1. D

2. C

3. A