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Estudo analítico dos espelhos esféricos: é mais fácil do que parece!

Exemplo de espelho convexo, um tipo de espelho esférico.

Convenção de sinais (referencial de Gauss)

Consideremos dois eixos ortogonais, com origens no vértice do espelho.

Eixo das abscissas:

  • Origem: vértice do espelho
  • Direção: a do eixo principal
  • Sentido: contrário ao da luz incidente

 

Eixo das ordenadas:

  • Origem: vértice do espelho
  • Direção: perpendicular ao eixo principal
  • Sentido: de baixo para cima

Do referencial gaussiano, decorre o seguinte:

  • Elementos reais (objetos ou imagens situados em frente do espelho): abscissa positiva
  • Elementos virtuais (objetos ou imagens situados atrás do espelho): abscissa negativa

 

Convém observar que nos espelhos côncavos a abscissa do foco principal é positiva, enquanto nos espelhos convexos essa abscissa é negativa.

Equação de Gauss e equação do aumento linear transversal

Consideremos o espelho da figura:

Estudo analítico dos espelhos esféricos: é mais fácil do que parece!

Considerando o referencial gaussiano, temos, nesse caso, que:

p = distância do objeto ao vértice (abscissa do objeto)

p’ = distância da imagem ao vértice (abscissa da imagem)

o = altura do objeto

i = altura da imagem

f = distância focal (f = R/2, R é o raio de curvatura)

 

Por semelhança de triângulos podemos demonstrar que:

  • Equação dos pontos conjugados de Gauss

  • Equação do aumento linear transversal

Considerando sempre o objeto real (p > 0), nessas equações, temos:

  • Espelho côncavo –> f > 0
  • Espelho convexo –> f < 0
  • Imagem real –> p’ > 0
  • Imagem virtual –> p’ < 0
  • Imagem direita –> i > 0
  • Imagem invertida –> i < 0

 Exemplo ilustrativo:

Um jovem estudante para fazer a barba mais eficientemente, resolve comprar um espelho esférico que aumenta duas vezes a imagem do seu rosto quando ele se coloca a 50 cm dele. Que tipo de espelho ele deve usar e qual o raio de curvatura?

a) convexo com r = 50 cm
b) côncavo com r = 200 cm
c) côncavo com r = 33,3 cm
d) convexo com r = 67 cm

 

Solução:

Como a imagem é maior que o objeto, o espelho deve ser côncavo.

Exercícios

1) (MACK-SP) Em um anteparo localizado a 60 cm do vértice de um espelho esférico, forma-se a imagem nítida de um objeto real colocado sobre o eixo principal do espelho e a 20 cm dele. O tipo e o raio de curvatura desse espelho são, respectivamente:

A) côncavo e 15 cm

B) côncavo e 10 cm

C) côncavo e 30 cm

D) convexo e 15 cm

E) convexo e 30 cm

 

2) (UERJ) Com o objetivo de obter mais visibilidade da área interna do supermercado, facilitando o controle da movimentação de pessoas, são utilizados espelhos esféricos cuja distância focal em módulo é igual a 25 cm. Um cliente de 1,60 m de altura está a 2,25 m de distância do vértice de um dos espelhos.

A) Indique o tipo de espelho utilizado e a natureza da imagem por ele oferecida.

B) Calcule a altura da imagem do cliente.

 

3) (UFPel-RS) Um espelho esférico projeta sobre uma parede uma imagem três vezes maior do que uma vela colocada diante dele. Sabendo que o vértice do espelho encontra-se a 6 m da parede, responda às seguintes perguntas:

A) O espelho é côncavo ou convexo? Por quê?

B) Quanto mede o raio do espelho?

 

Gabarito:

1) C

2) A) O espelho é convexo, pois o campo visual é maior. A imagem é virtual.

B) i = 16 cm.

3) A) O espelho é côncavo porque somente imagens reais podem ser projetadas sobre uma parede.

B) R = 3 m.