Probabilidade Condicional: Você sabe como será contextualizada no seu vestibular?

13/10/2016 Allan Pinho

 

Probabilidade é um assunto delicado se tratando de vestibular, pois é uma das matérias com maior índice de erros. Mas você sabe como podemos encaixar essa probabilidade no dia a dia? Nas provas dos vestibulares, esses conteúdos são contextualizados e cabe a você saber identificá-los e resolvê-los. Temos aqui três casos que são muito abordados em provas. Então se prepare! Depois dessa lista, sua probabilidade de acerto irá aumentar!

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Falou de probabilidade, senti sua animação…

 

1- Pesquisas de opiniões ou qualidade

Vamos supor que em uma viagem de avião com 140 passageiros com destino a Natal, duas perguntas são feitas com cada um desses passageiros:

Já voou antes?

 

Já esteve em Natal?

Os resultados geraram tais dados:

Não conheciam Natal -> 83 ainda não haviam voado e 22 já haviam voado.

 

Já conheciam Natal -> 23 ainda não haviam voado e 12 já haviam voado.

Se eu quisesse saber a probabilidade dele conhecer Natal e nunca ter voado, como eu faria?

Usamos, nesse caso, a probabilidade condicional, que é representada por:

Sem titulo

Resumidamente, a probabilidade condicional é a probabilidade de um evento acontecer dado que outro também acontece.

Nesse nosso caso, temos:

Sem titulo

Vejamos um exemplo de problema:

Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores sobre a preferência da marca de sabão em pó, verificou-se que 6500 utilizam a marca X, 5500 utilizam a marca Y, e 2000 utilizam as duas marcas. Foi sorteada uma pessoa desse grupo e se verificou que ela utiliza a marca X. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca Y?

Resolução:

A: Usuário da marca Y.

 

B: Usuário da marca X.

Queremos P(A|B) e temos que o número de elementos do espaço amostral é P(S) = 10000.

Temos, também, que:

P(A∩B) = 2000

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Também temos:

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n(B) = 6500 – n(A∩B) = 6500 – 2000 = 4500

Logo, temos:

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Então:

Sem titulo

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Então primeiro acontece um evento e depois o outro…

 

2- Lançamento de dados

Como é clássico em probabilidade, temos os famosos lançamentos de dados. E, sim, podemos resolver problemas de probabilidade condicional nesse contexto.

Por exemplo, temos um experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm probabilidades iguais). Com relação a esse experimento, consideramos os seguintes eventos:

A: O resultado do lançamento é par.

 

B: O resultado do lançamento é  estritamente maior do que 4.

 

C: O resultado é múltiplo de 3.

  1. a) A e B são eventos independentes?
  2. b) B e C são eventos independentes?

Percebemos que:

p(A) = 3/6 = 1/2, p(B) = 2/6 = 1/3 e p(A  B) = 1/6

Como p(A) . p(B) = 1/2 . 1/3 = 1/6 e esse valor é igual a p(A  B), concluímos que A e B são eventos independentes.

p(B) = 2/6 = 1/3, P(C) = 2/6 = 1/3 e p(B  C) = 1/6

Como p(B) . p(C) = 1/3 . 1/3 = 1/9 e esse valor é diferente de p(B  C), concluímos que B e C não são eventos independentes.

Vamos a um exemplo:

Um dado é lançado três vezes, calcule a probabilidade de que o número 3 ocorra somente no primeiro e no terceiro lançamentos.

Resolução:

Temos três eventos independentes, pois o fato de sair um determinado número num dos lançamentos não influi em nada no que possa ocorrer no lançamento seguinte.

No primeiro lançamento deve ocorrer o número 3. A probabilidade de isso ocorrer é dada por:   P1 = 1/6

 

No segundo lançamento deve ocorrer um dos números: 1, ou 2, ou 4, ou 5, ou 6. A probabilidade de isso ocorrer é dado por:  P2 = 5/6

 

No terceiro lançamento deve ocorrer o número 3. A probabilidade de isso acontecer é dada por:  P3 = 1/6

Então, a probabilidade de sair o número 3 somente no primeiro e no terceiro lançamentos é dada por:

       p = p1 . p2 . p3 = 1/6 . 5/6 . 1/6 = 5/216

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Ainda está confuso? Acho que não…

 

3- Sorteio de bolas em uma urna

Outro método clássico de se cobrar probabilidade condicional é aquele em que se pede a probabilidade de se retirar tantas bolas de uma determinada cor, ou tantas bolas de uma cor e uma de outra cor, ou, ainda, de se retirar uma certa quantidade de bolas de uma urna, como funciona o bingo, por exemplo.

Imagine que temos uma caixa com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. São retiradas duas bolas. Como calcularíamos a probabilidade das duas serem pretas, ou melhor, de uma ser preta e a outra branca?

No primeiro caso, a probabilidade das duas serem pretas:

Temos o sorteio de duas bolas, assim, na retirada da primeira bola, a chance dela ser preta é de 2/5, porém, quando retiramos a segunda bola, temos que a chance dela ser preta é de 1/4, pois a primeira já tinha saído.

 

Agora, temos que a primeira deve ser preta E a segunda deve ser preta, assim:

2/5 . 1/4 = 2/20 = 10/100 = 10%

Agora, no segundo caso, temos que uma deve ser de preta e a outra branca:

Agora, a probabilidade da primeira ser preta é de 2/5, já da segunda ser branca será de 3/4. Porém, nesse caso também temos a probabilidade da primeira retirada vir uma bola branca e na segunda uma preta.

 

Então nós tiraremos uma bola preta E uma branca OU uma bola branca E uma preta, assim:

2/5 . 3/4 + 3/4 . 2/5 = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 60/100 = 60%

Viu como é simples?

Vamos a um exemplo:

(UFF – RJ) Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75, e um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela?

Resolução:

Podemos resolver o exercício utilizando o princípio fundamental da contagem. Observe que a cartela contém 24 números entre um universo de 75 que serão sorteados. A chance dos três primeiros números dessa cartela serem sorteados nas três primeiras rodadas respeita a seguinte ordem:

1º sorteio – 24/75

 

2º sorteio – 23/74
3º sorteio – 22/73

Calculamos a chance realizando o produto entre os eventos:

A chance dos três primeiros números sorteados serem da cartela é de 3%.

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Probabilidade? Aprendido!!!

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Allan Pinho

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