Questões Comentadas: Introdução à Geometria Espacial

Leia o resumo “Quais são os Conceitos Básicos da Geometria Espacial?” e resolva os exercícios abaixo.

1. (Fatec – SP) Seja A um ponto pertencente à reta r, contida no plano α. É verdade que:

a) existe uma única reta que é perpendicular à reta r no ponto A.
b) existe uma única reta, não contida no plano α, que é paralela à reta r.
c) existem infinitos planos distintos entre si, paralelos ao plano α, que contém a reta r.
d) existem infinitos planos distintos entre si, perpendiculares ao plano α e que contêm a reta r.
e) existem infinitas retas distintas entre si, contidas no plano α e que são paralelas à reta r.

2. (UF – AL) Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas abaixo.

1) Duas retas que não têm pontos comuns sempre são paralelas.
2) Duas retas distintas sempre determinam um plano.
3) Uma reta pertence a infinitos planos distintos.
4) Três pontos distintos sempre determinam um plano.
5) Duas retas coplanares distintas são paralelas u concorrentes.

3. (UF – AL) Na cadeira representada na figura a seguir, o encosto é perpendicular ao assento e este é paralelo ao chão.

Sendo assim:

a) os planos EFN e FGJ são paralelos.
b) HG é um segmento de reta comum aos planos EFN e EFH.
c) os planos HIJ e EGN são paralelos.
d) EF é um segmento de reta comum aos planos EFN e EHG.

GABARITO

1. E

Solução Passo-a-Passo:

Essa questão assemelha-se a uma de classificar as assertivas em verdadeiras ou falsas, porém, neste caso, temos apenas uma alternativa verdadeira, logo, precisamos analisar uma a uma as opções.

Primeiro Passo: Letra “a”: Existe uma única reta perpendicular à reta r no ponto A. FALSA, podemos traçar mais de uma reta, veja o contra exemplo na figura abaixo, na qual tanto s quanto t são perpendiculares à r no ponto A.

Segundo Passo: Letra “b”: Existe uma única reta, não contida no plano α, que é paralela à reta r. FALSA, existem infinitas retas não contidas no plano α que são paralelas à r, veja o contra exemplo na figura abaixo na qual a, b, c e d são paralelas à r e não estão contidas em α.

Terceiro Passo: Letra “c”: Existem infinitos planos distintos entre si, paralelos ao plano α que contém a reta r. FALSA, para que exista um plano que seja paralelo ao plano α e contenha a reta r, este plano terá que ser coincidente com o plano α. Portanto, não existe nenhum plano distinto de α paralelo a este que contenha r.

Quarto Paaso: Letra “d”: Existem infinitos planos distintos entre si, perpendiculares ao plano α e que contêm a reta r. FALSA, pela unicidade do perpendicularismo entre reta e plano, por um ponto qualquer pode-se conduzir um único plano perpendicular a um reta dada (r).

Quinto Passo: Letra “e”: Existem infinitas retas distintas entre si, contidas no plano α e que são paralelas à reta r. VERDADEIRA, pelos primeiro e segundo postulados de Euclides, podemos deduzir que no plano, bem como fora dele, há infinitas retas. Veja a figura ilustrativa abaixo:

2. F, F, V, F, V.

Solução Passo-a-Passo:

1) Duas retas que não têm pontos comuns sempre são paralelas. FALSA, pois elas podem ser reversas.
2) Duas retas distintas sempre determinam um plano. FALSA, pois elas podem ser reversas e não existe plano que contenha duas retas reversas.
3) Uma reta pertence a infinitos planos distintos. VERDADEIRA, por uma reta passam infinitos planos.
4) Três pontos distintos sempre determinam um plano. FALSA, pois se os pontos forem colineares eles determinaram uma reta e não um plano.
5) Duas retas coplanares distintas são paralelas u concorrentes. VERDADEIRA, como vimos nas posições relativas entre retas.

3. D

Solução Passo-a-Passo:

Avaliar as alternativas.

a) os planos EFN e FGJ são paralelos. FALSA, porque eles possuem a reta que contém o segmento FN em comum, portanto, são secantes.
b) HG é um segmento de reta comum aos planos EFN e EFH. FALSA, dois planos possuem apenas uma reta em comum se são secantes, como neste caso, e a reta é a suporte de EF.
c) os planos HIJ e EGN são paralelos. FALSA, porque eles têm o ponto G em comum, logo, têm uma reta em comum e por isso são secantes.
d) EF é um segmento de reta comum aos planos EFN e EHG. VERDADEIRA, como vimos na letra “b”.

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