Questões Comentadas: Equações e Inequações dos Primeiro e Segundo Graus

Leia o resumo “O que são Equações e Inequações do Primeiro e do Segundo Grau?” e resolva os exercícios abaixo.

1. (CEFET) Seja x o número inteiro não nulo que satisfaz a inequação: 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2. O valor de x² é igual a:

a) 0
b) 1
c) 4
d) 9
e) 16

2. (ITA – SP) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função abaixo está definida e é não negativa para todo x real é:

x+(m^2+3)}{\sqrt{x^2+(2m+1)x+(m^2+2)}} "f(x)=\frac{x^2+(2m+3)x+(m^2+3)}{\sqrt{x^2+(2m+1)x+(m^2+2)}}")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f(x)=&space;\frac{x^2+(2m+3)x+(m^2+3)}{\sqrt{x^2+(2m+1)x+(m^2+2)}})

: \left [ \frac{1}{4}, \frac{7}{4} \right ")&space;:&space;\left&space;[&space;\frac{1}{4},&space;\frac{7}{4}&space;\right&space;[)

: \left ] \frac{1}{4}, \infty \right ")&space;:&space;\left&space;]&space;\frac{1}{4},&space;\infty&space;\right&space;[)

: \left ] 0, \frac{7}{4}\right ")&space;:&space;\left&space;]&space;0,&space;\frac{7}{4}\right&space;[)

: \left ] -\infty , \frac{1}{4}\right ]")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=d)&space;\:&space;\left&space;]&space;-\infty&space;,&space;\frac{1}{4}\right&space;])

: \left ] \frac{1}{4} , \frac{7}{4}\right ")&space;:&space;\left&space;]&space;\frac{1}{4}&space;,&space;\frac{7}{4}\right&space;[)

3. (Unirio – RJ) A diferença entre o comprimento x e a largura y de um retângulo é de 2 cm. Se a sua área é menor ou igual a 24 cm², então, o valor de x, em cm, será:

a) 0 < x < 6
b) 0 < x ≤ 4
c) 2 < x ≤ 6
d) 2 < x < 6
e) 2 < x ≤ 4

GABARITO:

1. B

Resolução passo-a-passo:

1. Primeiro Passo: Subtrair 4x de cada termo da sentença.
4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2 ⇒ 4x – 4x < 2x + 1 – 4x ≤ 3x + 2 – 4x ⇒ 0 < -2x + 1 ≤ -x + 2

Segundo Passo: Multiplicar a sentença por -1.
0 < -2x + 1 ≤ -x + 2 ⇒ 0 > 2x – 1 ≥ x – 2

Terceiro Passo: Somar 1 à sentença.
0 > 2x – 1 ≥ x – 2 ⇒ 1 > 2x  ≥ x – 1

Quarto Passo: Dividir a sentença em duas inequações.


Quinto Passo: Calcular x².

: e : x : \in \mathbb{Z}, : ent\tilde{a}o, : x=-1. : Logo, : x^2=1.")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=Como&space;\:&space;sabemos&space;\:&space;que&space;\:&space;x&space;\in&space;\left&space;[&space;-1,&space;\frac{1}{2}&space;\right&space;)&space;\:&space;e&space;\:&space;x&space;\:&space;\in&space;\mathbb{Z},&space;\:&space;ent\tilde{a}o,&space;\:&space;x=-1.&space;\:&space;Logo,&space;\:&space;x^2=1.)

2. D

Resolução passo-a-passo: 

Primeiro Passo: Reconhecer que o denominador de F(x) sempre será positivo, já que é uma raiz quadrada e não existe raiz quadrada negativa de números reais.

Segundo Passo: Como a função é não negativa e o denominador será sempre positivo, queremos que o numerador seja maior ou igual a 0. Sendo a > 0, n(x) o numerador de F(x) e x1 e x2 as raízes de n(x), sabemos que n(x) será não negativa quando estiver fora das raízes (Δ<0) ou quando for nula (Δ=0). Logo, Δ≤0.

"a=1, b=2m + 3, c=m^2+3; \Delta=b^2 -4ac\Rightarrow \Delta=(2m+3)^2-4.1.(m^2+3)")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=a&space;=&space;1,&space;b&space;=&space;2m&space;+&space;3,&space;c&space;=&space;m^2+3;&space;\Delta&space;=&space;b^2&space;-4ac\Rightarrow&space;\Delta&space;=&space;(2m+3)^2-4.1.(m^2+3))

,&space;\Delta&space;\leq&space;0\Rightarrow&space;(2m+3)^2-4.1.(m^2+3)&space;\leq&space;0 "\Delta=(2m+3)^2-4.1.(m^2+3), \Delta \leq 0\Rightarrow (2m+3)^2-4.1.(m^2+3) \leq 0")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\Delta&space;=&space;(2m+3)^2-4.1.(m^2+3),&space;\Delta&space;\leq&space;0\Rightarrow&space;(2m+3)^2-4.1.(m^2+3)&space;\leq&space;0)


3. C

 Resolução passo-a-passo:

Primeiro Passo: Achar a área do retângulo em função de x.

\Rightarrow A=x^2-2x")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=A&space;=&space;x.y,&space;x-y=2\rightarrow&space;y=x-2\Rightarrow&space;A=x.(x-2)\Rightarrow&space;A=x^2-2x)

Segundo Passo: Sabendo a área em função de x, descobrir o valor de x que satisfaz a inequação.

\leq0 "A=x^2-2x\Rightarrow x^2-2x \leq 24\Rightarrow x^2 -2x-24 \leq 0\Rightarrow (x-6)(x+4)\leq0")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=A=x^2-2x\Rightarrow&space;x^2-2x&space;\leq&space;24\Rightarrow&space;x^2&space;-2x-24&space;\leq&space;0\Rightarrow&space;(x-6)(x+4)\leq0)

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