O que é uma Progressão Aritmética?

Progressão Aritmética é uma sequência em que a diferença de dois termos consecutivos é constante. A essa diferença damos o nome de razão (r).

Exemplo de Progressão Aritmética: 3, 4, 5, 6 e 7.
Exemplo de Progressão Aritmética: 3, 4, 5, 6 e 7.

Termo Geral

Sendo a1 o primeiro termo da progressão aritmética e r a razão, um termo qualquer an é dado pela expressão:

an = a1 + (n – 1).r

É importante ressaltar que, caso não saibamos o primeiro termo, mas conheçamos um termo ap, um outro termo an qualquer será dado pela expressão:

an = ap + (n – p).r

O Termo Geral desta Progressão é an = 1 + 4.(n – 1).
O Termo Geral desta Progressão é an = 1 + 4.(n – 1).

Classificação

As progressões aritméticas podem ser:

i) decrescentes de r < 0;

ii) constantes se r = 0;

iii) crescentes se r > 0.

Exemplos de Progressões Decrescente, Constante e Crescente.
Exemplos de Progressões Decrescente, Constante e Crescente.

Notações Especiais

Para obtermos uma progressão aritmética de três, quatro ou cinco termos, podemos usar as seguintes notações para facilitarem o desenvolvimento das nossas questões:

i) três termos: x – r, x, x + r.

ii) quatro termos: x – 3r, x – r, x + r, x + 3r.

iii) cinco termos: x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r.

Interpolação Aritmética

Numa progressão aritmética a1, a2, a3, …, an chamamos a1 e an de extremos e os demais termos de meios. Interpolar meios aritméticos significa inserir uma certa quantidade de termos entre dois extremos.

Exemplo: interpole oito meios aritméticos entre 3 e 48. Veja a imagem abaixo:

Exemplo de Interpolação Aritmética.
Exemplo de Interpolação Aritmética.

Desta forma, temos oito meios e dois extremos, portanto, temos dez termos no total. Sabemos que 48 é o nosso a10 e o 3 é o nosso a1, portanto: an = a1 + (n – 1).r ⇒ a10 = a1 + (10 – 1).r ⇒ 48 = 3 + 9r ⇒ 48 – 3 = 9r ⇒ 45 = 9r ⇒  r = 5. Por conseguinte, an = a1 + (n – 1).r ⇒ an = 3 + 5.(n – 1) ⇒ an = 3 + 5n -5 ⇒ an = 5n -2.

Fontes de Pesquisa:

Iezzi, Gelson e Hazzan, Samuel; Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 4
Sexta Edição, São Paulo: Atual, 1993.

Exercícios:

1. (Unitau) Um triângulo retângulo tem seus lados c, b, e a em uma progressão aritmética crescente, então podemos dizer que sua razão r é igual a:

a) 2c.
b) c/3.
c) a/4.
d) b.
e) a – 2b.

VEJA COMO RESOLVER PASSO-A-PASSO ESTA QUESTÃO!

2. (Unesp) Um estacionamento cobra R$1,50 pela primeira hora. A partir da segunda, cujo valor é R$1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0.40, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, quanto gastará seu proprietário?

a) R$ 4,58
b) R$ 5,41
c) R$ 5,14
d) R$ 4,85
e) R$ 5,34

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3. (Mackenzie) A sequência (2, a, b, …… , p, 50) é uma progressão aritmética de razão r < 2/3, onde, entre 2 e 50, foram colocados k termos. Então o valor mínimo de k é:

a) 64
b) 66
c) 68
d) 70
e) 72

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4. (Fuvest) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, √(11- a). O quarto termo desta P.A. é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

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5. (Fei) Se a, 2a, a², b formam, nessa ordem, uma progressão aritmética estritamente crescente, então o valor de b é:

a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12

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GABARITO

1. B

2. C

3. E

4. B

5. E

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