O princípio fundamental da contagem (PFC) pode aparecer no seu vestibular em 4 situações. Você sabe quais são elas?

Dos primórdios da combinatória eis que surge: o Princípio Fundamental da Contagem, ou PFC para os íntimos que é um dos mais importantes, ou talvez o mais importante, conceito da Análise Combinatória. No PFC ou princípio multiplicativo devemos entender a ideia que o envolve. Perceba como esse importante conceito vem caindo nos principais vestibulares desse Brasil!

1. Arrumação de comissões de pessoas

(Unifor–CE) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?

a)24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 720

RESOLUÇÃO:

Os pais deverão ocupar os extremos:

P ____ ____  ____ ____ M  ou M ____ ____ ____ ____ P

2 * P4 = 2 * 4! = 2 * 4 * 3 * 2 * 1 = 48 maneiras

Resposta correta item b.

Mas era só isso?
Mas era só isso?

2. Arrumação de objetos em prateleiras

(UFJF–MG) Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:

a) 288
b) 296
c) 864
d) 1728
e) 2130

RESOLUÇÃO:

4 livros de Geometria = P4
2 livros de Álgebra = P2
3 livros de Análise = P3

P4 * P2 * P3 * P3 = 4! * 2! * 3!

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
2! = 2
3! = 3 * 2 * 1 = 6

P4 * P2 * P3 * P3 = 24 * 2 * 6 * 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 1728 maneiras

Resposta correta item d.

Este é Isaac, e seu problema com maçãs..
Este é Isaac, e seu problema com maçãs..

3- Quantidade de números formados com determinados algarismos

(ITA–SP) Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?

a) 144
b) 180
c) 240
d) 288
e) 360

RESOLUÇÃO:

3 e o 4 ocupando posições adjacentes
5! * 2! = 120 * 2 = 240 números

1 e o 2 juntos e o 3 e o 4 juntos
4! * 2! * 2! = 24 * 2 * 2 = 96 números

3 e o 4 juntos e o 1 e o 2 nunca juntos
240 – 96 = 144 números

Resposta correta item a.

VIu? Você também é capaz de fazer questões do ITA, não se assuste
VIu? Você também é capaz de fazer questões do ITA, não se assuste

4- Disposição de Pessoas ou objetos em posições específicas

(ENEM – 2013) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.

Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

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Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

a) 6

b) 12

c) 18

d) 24

e) 36

RESOLUÇÃO:

Para a confecção das joias temos duas situações a considerar:

1ª situação: As pedras colocadas em A e C são de cores diferentes. Existem 3 possibilidades

de escolha para A, 2 possibilidades para C e 1 possibilidade para cada um dos pontos B e C.

Total de resultados da situação 1:

T1= 3.2.1.1 = 6

2ª Situação: As pedras colocadas em A e C são de mesma cor.

Existem 3 possibilidades de escolha para A, 1 possibilidade para C, 2 possibilidades para B e 2

possibilidades para D.

Total de resultados da situação 2:

T2 = 3.1.2.2 = 12

Assim, o artesão produzirá 6 + 12 = 18 jóias diferentes.

Bem galera, esses tipos de questões sempre são cobradas nas provas de vestibular, por isso, fiquem ligados!

Lembrem-se que: No princípio multiplicativo não temos fórmulas exatas para se resolver o determinado problema, precisamos apenas analisar cada situação!

Se ligou?
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