Matemática Enem: o que são poliedros?

Caso caia uma questão de Matemática sobre Poliedros no Enem, você saberia resolvê-la? Se a resposta para essa pergunta for “não”, fique atento! Essa matéria é uma das queridinhas do exame e é super importante você estar com todo o conteúdo na ponta da língua! Pensando nisso, preparamos um resumo sobre Poliedros para você estudar e garantir a sua vaga na universidade! Confira:

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Não sabemos ao certo quando se iniciou o interesse pelos poliedros – sólidos de faces planas. Porém, existem registros históricos de fontes egípcias, chinesas e babilônicas contendo soluções para problemas envolvendo pirâmides.

Os egípcios se interessaram desde cedo por várias áreas da ciência como Astronomia e Medicina e nos deixaram de herança uma grande base matemática – até bem avançada para os recursos da época.
Os egípcios se interessaram desde cedo por várias áreas da ciência como Astronomia e Medicina e nos deixaram de herança uma grande base matemática – até bem avançada para os recursos da época.

Superfície Poliédrica Limitada Convexa

Dizemos que uma superfície poliédrica limitada convexa é o conjunto de um número finito de polígonos planos e convexos de maneira que dois polígonos – faces – não estão no mesmo plano e cada lado de um desses polígonos não está em mais que dois polígonos. Ou seja, as arestas são compartilhadas por no máximo duas faces. Além disso, de modo que o plano de cada polígono deixa os outros num mesmo semi-espaço e quando esses lados estão em apenas um polígono, eles formam o contorno.

As superfícies que têm contorno são chamadas “abertas”, enquanto as que não têm são chamadas “fechadas”.

Ah, mais um detalhe: tanto a superfície aberta quanto a fechada não são uma região convexa.

Superfícies Poliédricas Limitadas Convexas Aberta e Fechada.
Superfícies Poliédricas Limitadas Convexas Aberta e Fechada.

Elementos de uma Superfície Poliédrica Limitada Convexa

  • Faces: são os polígonos;
  • Arestas: são os lados dos polígonos;
  • Vértices: são os vértices dos polígonos;
  • Ângulos: são os ângulos dos polígonos.
Elementos de uma Superfície Poliédrica Limitada Convexa
Elementos de uma Superfície Poliédrica Limitada Convexa

Poliedros Convexos

Sendo n um número finito maior ou igual a quatro uma quantidade de polígonos convexos, dizemos que determinamos n semi-espaços, cada um deles tem origem no plano de um polígono e contém os demais.

Damos o nome de poliedro convexo à interseção desses semi-espaços. Já a reunião das faces – polígonos convexos – chamamos de superfície do poliedro.

Poliedros Convexos
Poliedros Convexos

Congruência

Podemos dizer que dois poliedros são convexos se, e somente se, conseguirmos estabelecer uma correspondência ordenada entre suas faces e seus ângulos poliédricos. Daí, encontramos a congruência de faces, arestas, ângulos e diedros.

Dodecaedros Congruentes
Dodecaedros Congruentes

Relação de Euler

Sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces, vale para todo poliedro convexo a relação (que pode ser provada por indução finita):

V – A + F = 2

Observação: Os poliedros para os quais é válida essa relação são chamados poliedros eulerianos. Todo poliedro convexo é euleriano. Porém, nem todo poliedro euleriano é convexo. 👍

Leonhard Paul Euler foi um grande matemático e físico suíço.
Leonhard Paul Euler foi um grande matemático e físico suíço.

Soma dos Ângulos das Faces

Sendo r um ângulo reto, a soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é dada por:

S = (V – 2).4r

Poliedros de Platão

Chamamos poliedros de Platão todos aqueles que atendem as seguintes condições:

  • Todas as suas faces têm o mesmo número de arestas;
  • Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas;
  • É válida a relação de Euler.

Existem apenas cinco classes de poliedros de Platão.

Poliedros de Platão.
Poliedros de Platão.

Dica: Para lembrar os nomes dos poliedros de Platão grave o nome Thodi.

Poliedros Regulares

Um poliedro convexo é regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes. Além disso, seus ângulos poliédricos também são congruentes. Existem apenas cinco poliedros regulares. Todo poliedro regular é de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é regular.

Poliedros Regulares
Poliedros Regulares

Fontes de Pesquisa:

Dolce, Osvaldo e Pompeo, José Nicolau; Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 10
Sexta Edição, São Paulo: Atual, 2005.

Partiu revisar?

Conferiu tudo certinho? Incrível! Aqui no final separamos alguns exercícios sobre Poliedros para você ver se aprendeu mesmo. Mas, antes de partir para a prática, que tal dar uma revisada? Afinal, é sempre bom manter a matéria fresca na cabeça, certo? Para isso, separamos o episódio do Quer Que Desenhe sobre o Cálculo de Volumes para fixar bem todos os conceitos sobre Poliedros. Clique aqui para baixar o mapa mental sobre essa matéria e relembrar este conteúdo sempre que precisar. Se liga nessa 👇

Exercícios

1. (UF – PI) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de faces em 18. O número de vértices desse poliedro é:

a) 10
b) 20
c) 24
d) 30
e) 32

VEJA COMO RESOLVER PASSO-A-PASSO ESTA QUESTÃO!

2. (Fuvest – SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui:

a) 33 vértices e 22 arestas.
b) 12 vértices e 11 arestas.
c) 22 vértices e 11 arestas.
d)  11 vértices e 22 arestas.
e) 12 vértices e 22 arestas.

VEJA COMO RESOLVER PASSO-A-PASSO ESTA QUESTÃO!

3. (PUCAMP – SP) Sobre as sentenças:

I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.

É correto afirmar que apenas:

a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) I e III são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.

VEJA COMO RESOLVER PASSO-A-PASSO ESTA QUESTÃO!

4. (U.F. Santa Maria – RS) Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a:

a) 3π
b) 12π
c) 36π
d) 64π
e) 108π

VEJA COMO RESOLVER PASSO-A-PASSO ESTA QUESTÃO!

5. (U.F. – RS) Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente:

a) 34 e 10
b) 19 e 10
c) 34 e 20
d) 12 e 10
e) 19 e 12

VEJA COMO RESOLVER PASSO-A-PASSO ESTA QUESTÃO!

GABARITO

1. B

2. E

3. E

4. E

5. B

Agora sim, hein? Não vai ter questão sobre Poliedros que seja páreo para você no vestibular! Conte com a gente para tudo nessa jornada até a vaga na faculdade! Vamos juntos?

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