Logaritmos podem aparecer na sua prova de 4 maneiras. Você sabe quais são elas?

Cansado de ter medo de logaritmos?

LOGARITMOS! A maioria de vocês, ao ouvir essa palavra, já se arrepia até a espinha, certo? É sempre um motivo de pânico quando nos deparamos com uma questão que tenha o tal temido logaritmo. Você se pergunta sempre onde podemos aplicá-lo, descubra agora!

1. Matemática Financeira

A matemática financeira pode depender muito do uso dos logaritmos, nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível. Observe:

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7
t * log 1,035 = log 7

t * 0,0149 = 0,8451

t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicações.

Lembrando que log~b~a = c, se bc = a

Agora ficou tão mais fácil..
Agora ficou tão mais fácil..

2. Crescimento Populacional

Na Geografia, analisamos muito o crescimento de uma determinada população num determinado intervalo de tempo. Para esses cálculos, o entendimento sobre logaritmos também é muito relevante, perceba:

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0
População após um ano = P0 * (1,03) = P1
População após dois anos = P0 * (1,03)2= P2

População após x anos = P0 * (1,03)x = Px

Px = 2*P0
P0 * (1,03)x = 2 * P0
1,03x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03x = log 2
x * log 1,03 = log2
x * 0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

Lembrando que log b.a = log b + log a

E que  log b/a = log b – log a

Que legal!
Que legal!

3. Meia-vida

Na química, estudamos a meia-vida de muitas substâncias, mas você sabia que nesse estudo os logaritmos são muito usados? Perceba:

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:

Q = Q~0~ . e–rt

Em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = Q0 . e–rt
200 = 1000 * e–0,02t
200/1000 = e–0,02t
1/5 = e–0,02t
–0,02t = log~e~1/5
–0,02t = log~e~ 5–1
–0,02t = – log~e~ 5
–0,02t = –ln5 x (–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Sua reação quando percebe que isso pode te ajudar em química, também.
Sua reação quando percebe que isso pode te ajudar em química, também.

4. Terremotos

Como estamos acompanhando, o Nepal tem passado muitos problemas devido aos terremotos que estão acontecendo por lá. A escala Richter é logarítmica , por meio dela é possível calcular a magnitude (quantidade de energia liberada), epicentro (origem do terremoto) e a amplitude de um terremoto.

(FUVEST 2010) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H+. Considere as seguintes afirmações:

I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justificase pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.

II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8.

III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3.

Está correto o que se afirma somente em:

  1. I
  2. II
  3. III
  4. I e II
  5. I e III

I está certa. Quando existe uma grande variação exponencial da grandeza estudada, é interessante trabalhar com escala logarítmica:

10 → 1

100 → 2

1.000 → 3

10.000 → 4

II está certa.

pH = – log [H+] Uma solução ácida de pH = 4 apresenta concentração de íons H+ = 10–4 mol/L. Uma solução alcalina de pH = 8 apresenta concentração de íons H+ = 10–8 mol/L.

[H+]~pH = 4~ / [H+]~pH = 8~ = 10-4 / 10-8 = 104

[H+]~pH = 4~ = 10.000 [H+]~pH = 8~

III está errada

A magnitude é dada por k.logE

6 = E6/k

3 = E3/k

E~6~ = E~3~²

Ou seja, um abalo de magnitude 6 libera o quadrado da energia de um abalo de magnitude 3

CÉUS!
CÉUS!

Os logaritmos deveriam ser encarados como facilitador do seu estudo e não como vilão, como normalmente é. Os vestibulares costumam cobrar os logaritmos contextualizados nesses determinados assuntos, então, vamos estudar que o vestibular está logo aí! 🙂

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