Exercícios Resolvidos: Trigonometria

Leia o resumo “O que é Trigonometria?” e resolva os exercícios abaixo.

1. (U. F. Viçosa – MG) Na figura abaixo, os triângulos são retângulos, com hipotenusa comum AC, sendo ABC um triângulo isósceles com catetos medindo 4 cm.


Se o cateto AD do triângulo ADC mede 2 cm, então o valor de tg x é:

a)


b)


c)


d)


e)

2. (Cesgranrio – RJ) Na figura abaixo, os pontos B e C pertencem à reta r e os segmentos AB e CD são paralelos. Sabe-se ainda que a distância entre os pontos B e C é igualà metade da distância entre A e D,  e a medida do ângulo ACD é 45°.

O ângulo CAD mede:
a) 115°
b) 105°
c) 100°
d) 90°
e) 75°

3. (U.F. Ouro Preto – MG) Um observador vê um prédio segundo um ângulo α. Após caminhar uma distância d em direção ao prédio, ele passa a vê-lo segundo um ângulo β.

Podemos afirmar que a altura h do prédio é:
a)


b)


c)

GABARITO

1. E

2. B

3. A

Solução Passo-a-Passo:

1. E

Primeiro Passo: Chamar AC de y e descobrir o valor de y através das informações dadas.


Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC:

Segundo Passo: Sabendo o valor de y, descobrir o valor do cateto CD=z. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACD:

^2\Rightarrow z^2+4=32\Rightarrow z^2=32-4\Rightarrow z^2=28\Rightarrow z=\sqrt{28}\Rightarrow z=2\sqrt7")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z^2+2^2=y^2\Rightarrow&space;z^2+4=(4\sqrt2)^2\Rightarrow&space;z^2+4=32\Rightarrow&space;z^2=32-4\Rightarrow&space;z^2=28\Rightarrow&space;z=\sqrt{28}\Rightarrow&space;z=2\sqrt7)

Terceiro Passo: Sabendo os valores dos catetos do triângulo ACD, descobrir o valor da tangente de x.

Gabarito: E

2. B

Primeiro Passo: Chamar BC de x, logo, AD vale 2x. Traçar uma perpendicular a CD, em E, que passe por A. Chamar DE de y. Como o ângulo ACE mede 45°, o triângulo AEC é isósceles, isto é, EAC=ACE=45°.

Segundo Passo: Calcular o cosseno do ângulo DAE que chamaremos de α.


Terceiro Passo: Sabendo que CAE = 45° e EAD = 60°, encontrar o valor de CAD. CAD = CAE + EAD =45° + 60°. Logo, CAD = 105°.

Gabarito: B

3. Primeiro Passo: Calcular a tangente de α e β em função de h.

Segundo Passo: Substituir o valor de x em função de h e da tangente de β na tangente de α e encontrar h em função de α, β e d.

+d} = \frac{h}{\frac{h}{tg:\beta}+\frac{dtg:\beta}{tg:\beta}}=\frac{h}{\frac{h+dtg:\beta}{tg:\beta}}")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=tg&space;\:&space;\alpha=\frac{h}{x+d};&space;\:&space;x=\frac{h}{tg\:\beta}\Rightarrow&space;tg\:\alpha&space;=&space;\frac&space;{h}{\left(\frac{h}{tg\:\beta}&space;\right&space;)+d}&space;=&space;\frac{h}{\frac{h}{tg\:\beta}+\frac{dtg\:\beta}{tg\:\beta}}=\frac{h}{\frac{h+dtg\:\beta}{tg\:\beta}})

=htg:\beta")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=tg&space;\:&space;\alpha=\frac{h}{\frac{h+dtg\:\beta}{tg\:\beta}}=h.\frac{tg\:\beta}{h+dtg\:\beta}=&space;\frac{htg\:\beta}{h+dtg\:\beta}&space;\Rightarrow&space;tg\:\alpha.&space;\left(h+dtg\:\beta&space;\right&space;)=htg\:\beta)

=htg:\bet\Rightarrow htg:\alpha+dtg:\alpha.tg:\beta= htg:\beta")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=tg\:\alpha.&space;\left(h+dtg\:\beta&space;\right&space;)=htg\:\bet\Rightarrow&space;htg\:\alpha+dtg\:\alpha.tg\:\beta=&space;htg\:\beta)

=-dtg:\alpha.tg:\beta")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\Rightarrow&space;htg\:\alpha&space;-&space;htg\:\beta=-dtg\alpha.tg\:\beta&space;\Rightarrow&space;h.\left(tg\:\alpha&space;-&space;tg\:\beta&space;\right&space;)=-dtg\:\alpha.tg\:\beta)


Gabarito: A

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