Exercícios Resolvidos: Geometria Analítica, Plano Cartesiano, Distância e Reta

Criada por René Descartes (15961650), a Geometria Analítica tem o intuito de relacionar a álgebra com a Geometria a fim de possibilitar um estudo mais profundo de objetos geométricos.

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Reunimos alguns exercícios resolvidos com a temática de Geometria Analítica, Plano Cartesiano, Distância e Reta. Aprenda!

Relembre a definição de Geometria Analítica, Plano Cartesiano, Distância e Reta

Por meio da Geometria Analítica, é possível ter métodos algébricos, estudar as propriedades do ponto, da reta e também das figuras.

No estudo da Geometria Analítica, trabalhamos constantemente com o Plano Cartesiano. Ele, por sua vez, é um objeto matemático plano e composto por duas retas que são perpendiculares. Elas possuem, então, apenas um ponto em comum, que forma um ângulo de 90°.

A distância entre um ponto e uma reta é calculada por meio de um segmento que forma com a reta um ângulo reto (90°). Então, para estabelecer a distância entre os dois, é preciso da equação geral da reta e da coordenada do ponto.

Leia o resumo que preparamos para resolver as questões

Para resolver os exercícios abaixo, é de suma importância que você leia também o resumo sobre Geometria Analítica, Plano Cartesiano, Distância e Reta que preparamos. Bons estudos!

1.  (Unirio) A função linear f(x) = ax + b é representada por uma reta que contém o ponto (2,-1) e que passa pelo vértice da parábola y = 4x – 2x². A função é:

a) f(x) = -3x + 5

b) f(x) = 3x – 7

c) f(x) = 2x – 5

d) f(x) = x – 3

e) f(x) = x/3 – 7/3

2. (Pucsp) Os pontos A=(-1; 1), B=(2; -1) e C=(0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é:

a) x + 5y + 3 = 0.

b) x – 2y – 4 = 0.

c) x – 5y – 7 = 0.

d) x + 2y – 3 = 0.

e) x – 3y – 5 = 0.

GABARITO

1. A

Confira a solução passo-a-passo:

Se a equação passa pelo ponto (2,-1) do plano cartesiano, -1 = 2a + b .: b = -1 -2a. O vértice da parábola 4x – 2x² tem a seguinte configuração:

}=\frac{-4}{-4}\Leftrightarrow xv=1")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=xv=-&space;\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2&space;\cdot&space;(-2)&space;}=\frac{-4}{-4}\Leftrightarrow&space;x_v=1)

}=\frac{-16}{-8}=2 "yv=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{-4^2+4.(-2).0}{4.(-2)}=\frac{-16}{-8}=2")](http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=yv=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{-4^2+4.(-2).0}{4.(-2)}=\frac{-16}{-8}=2)

Logo, a função também passa pelo ponto (1,2) do plano cartesiano. E, por isso, 2 = 1a + b, mas, b = -1 -2a, portanto, temos que 2 = a -1 -2a ⇒ 2 + 1 = -a ⇒ a = -3. Como b = -1 -2a, b = -1 -2.(-3) = -1 + 6 ⇒ b = 5. Assim, y = -3x + 5.

2. C

Confira a solução passo-a-passo:

No quadrado, as diagonais são perpendiculares, desta maneira, BD⊥AC. Sendo r a reta suporte de AC, sabemos que r: y = ax + b, A (-1,1) e C (0,-4). Logo, -4 = 0a + b ⇔ b = -4 e 1 = -a + b ⇔ a = b – 1 = -4 – 1 ⇔ a = -5 e, por isso, r: y = -5x – 4. Sendo s a reta suporte de BD, sabemos que ms.mr = -1 ⇒ ms.(-5) =-1 ⇔ ms = 1/5. Por conseguinte, s: y = x/5 + b, mas B (2,-1) é um ponto de s, então: -1 = 2/5 + b ⇒ b = -1 – 2/5 = (-5-2)/5 ⇔ b = -7/5 e, enfim, s: y = x/5 – 7/5 ⇔ s: x – 5y -7 = 0.

Agora que você já sabe tudo sobre Geometria Analítica, Plano Cartesiano, Distância e Reta, continue o aprendizado! Veja 3 questões de Geometria Analítica que podem cair no vestibular!

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