Estudo analítico dos espelhos esféricos: é mais fácil do que parece!

Convenção de sinais (referencial de Gauss)

Consideremos dois eixos ortogonais, com origens no vértice do espelho.

Eixo das abscissas:

  • Origem: vértice do espelho
  • Direção: a do eixo principal
  • Sentido: contrário ao da luz incidente

Eixo das ordenadas:

  • Origem: vértice do espelho
  • Direção: perpendicular ao eixo principal
  • Sentido: de baixo para cima

Do referencial gaussiano, decorre o seguinte:

  • Elementos reais (objetos ou imagens situados em frente do espelho): abscissa positiva
  • Elementos virtuais (objetos ou imagens situados atrás do espelho): abscissa negativa

Convém observar que nos espelhos côncavos a abscissa do foco principal é positiva, enquanto nos espelhos convexos essa abscissa é negativa.

Equação de Gauss e equação do aumento linear transversal

Consideremos o espelho da figura:

Considerando o referencial gaussiano, temos, nesse caso, que:

p = distância do objeto ao vértice (abscissa do objeto)

p’ = distância da imagem ao vértice (abscissa da imagem)

o = altura do objeto

i = altura da imagem

f = distância focal (f = R/2, R é o raio de curvatura)

Por semelhança de triângulos podemos demonstrar que:

  • Equação dos pontos conjugados de Gauss

  • Equação do aumento linear transversal

Considerando sempre o objeto real (p > 0), nessas equações, temos:

  • Espelho côncavo –> f > 0
  • Espelho convexo –> f < 0
  • Imagem real –> p’ > 0
  • Imagem virtual –> p’ < 0
  • Imagem direita –> i > 0
  • Imagem invertida –> i < 0

 Exemplo ilustrativo:

Um jovem estudante para fazer a barba mais eficientemente, resolve comprar um espelho esférico que aumenta duas vezes a imagem do seu rosto quando ele se coloca a 50 cm dele. Que tipo de espelho ele deve usar e qual o raio de curvatura?

a) convexo com r = 50 cm
b) côncavo com r = 200 cm
c) côncavo com r = 33,3 cm
d) convexo com r = 67 cm

Solução:

Como a imagem é maior que o objeto, o espelho deve ser côncavo.

Exercícios

1) (MACK-SP) Em um anteparo localizado a 60 cm do vértice de um espelho esférico, forma-se a imagem nítida de um objeto real colocado sobre o eixo principal do espelho e a 20 cm dele. O tipo e o raio de curvatura desse espelho são, respectivamente:

A) côncavo e 15 cm

B) côncavo e 10 cm

C) côncavo e 30 cm

D) convexo e 15 cm

E) convexo e 30 cm

2) (UERJ) Com o objetivo de obter mais visibilidade da área interna do supermercado, facilitando o controle da movimentação de pessoas, são utilizados espelhos esféricos cuja distância focal em módulo é igual a 25 cm. Um cliente de 1,60 m de altura está a 2,25 m de distância do vértice de um dos espelhos.

A) Indique o tipo de espelho utilizado e a natureza da imagem por ele oferecida.

B) Calcule a altura da imagem do cliente.

3) (UFPel-RS) Um espelho esférico projeta sobre uma parede uma imagem três vezes maior do que uma vela colocada diante dele. Sabendo que o vértice do espelho encontra-se a 6 m da parede, responda às seguintes perguntas:

A) O espelho é côncavo ou convexo? Por quê?

B) Quanto mede o raio do espelho?

Gabarito:

1) C

2) A) O espelho é convexo, pois o campo visual é maior. A imagem é virtual.

B) i = 16 cm.

3) A) O espelho é côncavo porque somente imagens reais podem ser projetadas sobre uma parede.

B) R = 3 m.

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